Varianta 11

Prof: Bășcău Cornelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Aflați conjugatul numarului complex $\frac{-2i}{3-i}$

(5p) 2. Aflați ecuația axei de simetrie a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-10$.

(5p) 3. Rezolvați, în $\mathbb{R}$, ecuația: $\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=\lg 100$.

(5p) 4. Știind că prețul unui obiect, după două reduceri succesive de 10%, este 8100, aflați prețul inițial al obiectului.

(5p) 5. Să se determine lungimea laturii NP și raza cercului circumscris triunghiului MNP, dacă $MN=3,m(\sphericalangle P)={{30}^{\circ }},m(\sphericalangle M)={{45}^{\circ }}$.

(5p) 6. Să se arate că triunghiul cu vârfurile M(1,6), N(-1,0) și P(5,-2) este isoscel.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră punctele A(2,1) și A_n(-n, n), n$\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) a) Să se determine ecuația dreptei A₁A_2.

(5p) b) Să se afle aria triunghiului AA₂A_3.

(5p) c) Să se verifice dacă punctele O, A_n, A_n+1 sunt coliniare, pentru orice $n\in \mathbb{N}$.

2. Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\circ y={{2014}^{(x+y)}}$.

(5p) a) Să se calculeze $2014\circ(-2014)$.

(5p) b) Să se rezolve în $\mathbb{R}$ ecuația ${{x}^{2}}\circ 2x=\frac{1}{2014}$.

(5p) c) Să se arate că dacă $x\circ y\circ z={{2014}^{z+2014}}$ ,   atunci $x+y=1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția$f:\mathbb{R}\setminus \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-2x+1}$ .

(5p) a) Să se verifice că ${{f}^{'}}\left( x \right)=\frac{-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},x\ne 1$

(5p) b) Să se arate că$f(x)\ge -1,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 1 \right\}$.

(5p) c) Să se determine asimptotele funcției  f.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}+2x-1,x\ge 0 \\ & 2x-1,x<0 \\ \end{align} \right.$

(5p) a)  Să se arate că funcția f admite primitive pe $\mathbb{R}$  .

(5p) b) Să se calculeze $\int_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}$ .

(5p) c) Aflați a$\in [0,2]$  astfel încât aria suprafeței plane cuprinsă între graficul funcției f, axa Ox si dreptele de ecuații  x = a si x = 2 să fIe 9.

CLICK PE BAREM