.png){kind=icon}
.png){kind=icon}
Varianta 11
Prof: Bășcău Cornelia
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Aflați conjugatul numarului complex \(\frac{-2i}{3-i}\)
(5p) 2. Aflați ecuația axei de simetrie a graficului funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-10\).
(5p) 3. Rezolvați, în \(\mathbb{R}\), ecuația: \(\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}=\lg 100\).
(5p) 4. Știind că prețul unui obiect, după două reduceri succesive de 10%, este 8100, aflați prețul inițial al obiectului.
(5p) 5. Să se determine lungimea laturii NP și raza cercului circumscris triunghiului MNP, dacă \(MN=3,m(\sphericalangle P)={{30}^{\circ }},m(\sphericalangle M)={{45}^{\circ }}\).
(5p) 6. Să se arate că triunghiul cu vârfurile M(1,6), N(-1,0) și P(5,-2) este isoscel.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră punctele A(2,1) și An(-n, n), n\(\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).
(5p) a) Să se determine ecuația dreptei A1A2.
(5p) b) Să se afle aria triunghiului AA2A3.
(5p) c) Să se verifice dacă punctele O, An, An+1 sunt coliniare, pentru orice \(n\in \mathbb{N}\).
2. Pe \(\mathbb{R}\) se definește legea de compoziție \(x\circ y={{2014}^{(x+y)}}\).
(5p) a) Să se calculeze \(2014\circ(-2014)\).
(5p) b) Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \({{x}^{2}}\circ 2x=\frac{1}{2014}\).
(5p) c) Să se arate că dacă \(x\circ y\circ z={{2014}^{z+2014}}\) , atunci \(x+y=1\).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția\(f:\mathbb{R}\setminus \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\frac{2x-1}{{{x}^{2}}-2x+1}\) .
(5p) a) Să se verifice că \({{f}^{'}}\left( x \right)=\frac{-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},x\ne 1\)
(5p) b) Să se arate că\(f(x)\ge -1,\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 1 \right\}\).
(5p) c) Să se determine asimptotele funcției f.
2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}+2x-1,x\ge 0 \\ & 2x-1,x<0 \\ \end{align} \right.\)
(5p) a) Să se arate că funcția f admite primitive pe \(\mathbb{R}\) .
(5p) b) Să se calculeze \(\int_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\) .
(5p) c) Aflați a\(\in [0,2]\) astfel încât aria suprafeței plane cuprinsă între graficul funcției f, axa Ox si dreptele de ecuații x = a si x = 2 să fIe 9.
