Varianta 15

Prof. Brabeceanu Silvia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Arătaţi că \(n=\sqrt{16-6\sqrt{7}}+\sqrt{16+6\sqrt{7}}\)este număr natural.

(5p) 2. Fie funcţiile \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{  }f\left( x \right)={{x}^{2}}+3\) şi \(g\left( x \right)=x-3\). Calculaţi \(f\left( g\left( 1 \right) \right)-g\left( f\left( 1 \right) \right)\).

(5p) 3. Să se rezolve pe mulţimea numerelor reale ecuaţia \({{2}^{2x-1}}+{{2}^{2x-3}}-2\cdot {{2}^{2x-5}}=9\).

(5p) 4. 16% din preţul unei mărfi, adică 256 lei reprezintă cheltuieli de transport. Care este preţul acesteia.

(5p) 5. Să se determine unghiul dreptelor \({{d}_{1}}:y=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}\) şi  \({{d}_{2}}:y=-\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}\).

(5p) 6. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris \(\vartriangle MNP\), \(M=\frac{\pi }{6},\text{ }N=\frac{\pi }{3}\)şi \(MN=4\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În reperul cartezian de coordonate \(xOy\) fie punctele \(A\left( m,m \right),\text{ }B\left( 2,m-3 \right),\text{ }C\left( -3,3m-1 \right)\)şi matricea \(M=\left( \begin{matrix}m & 2 & -3 \\ m & m-3 & 3m-1 \\ 1 & 1 & 1  \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right),\text{ }m\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Calculaţi \(\det \left( M \right)\).

(5p) b) Verificaţi că pentru orice \(m\in \mathbb{R}\) \(ABC\)este triunghi.

(5p) c) Pentru \(m=4\)să se calculeze aria triunghiului \(ABC\).

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{4}}-14{{X}^{2}}+48\in \mathbb{R}\left[ X \right]\).

(5p) a) Să se arate că \(f={{\left( {{X}^{2}}-7 \right)}^{2}}-1\).

(5p) b) Să se demonstreze că polinomul nu are rădăcini întregi.

(5p) c) Să se descompună polinomul f  în produs de factori ireductibili în \(\mathbb{R}\left[ X \right]\). 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}+x+3}\).

(5p) a) Calculaţi \({f}'\left( x \right),\text{ }x\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre \(+\infty \)la graficul funcţiei.

(5p) c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .

2. Se consideră funcţiile \(f:\left( -3,\infty  \right)\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=x+3+\frac{1}{x+3}\) şi \(F:\left( -3,\infty  \right)\to \mathbb{R},\text{ }F\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{2}+3x+\ln \left( x+3 \right)\).

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{\left( x+3 \right)f\left( x \right)dx}\).

(5p) b) Verificaţi dacă funcţia F este o primitivă a funcţiei f .

(5p) c) Calculaţi \(\int\limits_{-2}^{0}{F\left( x \right)\cdot f\left( x \right)dx}\),