.png){kind=icon}
Varianta 16
Prof. Ciocănaru Viorica
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculaţi conjugatul numărului complex z = (1+ 2i)(2- i).
(5p) 2. Determinaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale graficelor funcţiilor f, g: R\(\to \)R f (x)=
\({{x}^{2}}+3x-8\)și g (x) = - x -3.
(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia iraţională \(\sqrt[3]{2x+1}\)= x +1.
(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând la întâmplare un număr din mulţimea numerelor naturale de
două cifre, acesta să fie divizibil cu 6.
(5p) 5. Seconsideră vectorii \(\overrightarrow{AB}\)=3\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\)+2\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\)şi \(\overrightarrow{BC}\)=- 2\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{i}}}\,\)- 4\(\underset{{}}{\overset{\to }{\mathop{j}}}\,\). Calculaţi \(\overrightarrow{AB}\)+ 2\(\overrightarrow{AC}\).(5p) 6. Calculaţi lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că C = \(\frac{\pi }{3}\) şi AB = 8.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele Ap, Bp \(\in \)M3 (R), Ap = \(\begin{pmatrix} 1 & p+1 & p-2 \\ 3p & p+1 & -2 \\ 2p+3 & 1 & -3 \\ \end{pmatrix}\) , Bp= \(\begin{pmatrix} 1 & p & p \\ p & p & -2 \\ p & 0 & -4 \\ \end{pmatrix}\) p\(\in \)R .
(5p) a) Calculaţi Tr (A0 +At2).
(5p) b) Determinaţi CA0, unde C = \(\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\) .
(5p) c) Calculaţi \(\sum\limits_{p=1}^{n}{({{A}_{p}}-{{B}_{p}}})\), n\(\in \)N.
2. Se consideră polinomul f \(\in \)R[X], f = X3 + aX2 + X + a, unde a\(\in \)R.
(5p) a) Calculaţi f (-2).
(5p) b) Pentru a = 2, determinaţi rădăcinile polinomului f.
(5p) c) Calculaţi \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\) unde x1, x2, x3 sunt rădăcinile polinomului f.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f : R\(\to \)R, f (x) = \(\sqrt{{{x}^{2}}+4}\).
(5p) a) Calculaţi f '(x) și f '(-2), x\(\in \)R .
(5p) b) Cercetaţi dacă funcţia admite asimptotă oblică.
(5p) c) Determinaţi curbura funcţiei f , oricare ar fi x real.
2. Se consideră funcţia f: R\(\to \)R, fn(x) = xne -x, n\(\in \)N*.
(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{f}_{1}}(x)}dx\).
(5p) b) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru In, cu In = \(\int{{{f}_{n}}(x)dx}\), x\(\in \)R, n\(\in \)N* şi aplicaţi relaţia găsită în cazul I2.
(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{x}{{{f}_{n}}(t)}dt\).
BAREM PENTRU AUTOEVALUARE
