Varianta  18

Prof. Ciocănaru Viorica

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale inecuaţia  \({{(\frac{2}{5})}^{4x-3}}>{{(\frac{5}{2})}^{2-3x}}\).

(5p) 2. Determinaţi mulţimea soluţiilor inecuaţiei logaritmice log ₂ ( log _0,5 (x+1)) >1.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuaţia z³ + 64 = 0.

(5p) 4. Determinaţi numărul natural n astfel încât \(C_{n}^{3}\), \(A_{n}^{2}\) și \(A_{n+1}^{2}\)să fie termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

(5p) 5. Fie triunghiul ABC cu centrul de greutate G(4, 3), iar A(3, 6) și B(-2, 3). Determinaţi coordonatele vârfului C al triunghiului.

(5p) 6. Dacă a\(\in \)(\(\frac{\pi }{2},\pi \)), b\(\in \)(\(\pi ,\frac{3\pi }{2}\)) şi sin a =\(\frac{3}{5}\), sin b = -\(\frac{4}{5}\) calculaţi cos a - cos b. 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră determinanţii d1= \(\begin{vmatrix} a+b & b & a \\ b & a+b & a \\ b & a & a+b \\ \end{vmatrix}\) și d₂(x) = \(\begin{vmatrix} 1+4x & 9 & x+4  \\ 2+5x & 8 & 2x+5  \\ 3+6x & 8 & 3x+6  \\ \end{vmatrix}\)  unde  a, b, x sunt numere reale.

(5p) a) Calculaţi d₁ dezvoltând după o linie sau o coloană_.

(5p) b) Calculaţi d₂(0).

(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia  d₂ (x) = 0, cu ajutorul proprietăţilor determinanţilor.

2. Se consideră mulţimea M = {A_{x\(\in \)}M₂ (R)| A_x = \(\begin{pmatrix}1 & 0  \\ x & 1  \\ \end{pmatrix}\)   , x\(\in \)R}.

(5p) a) Arătaţi că “\(\cdot \)” este lege de compoziţie pe M.

(5p) b) Arătaţi că “\(\cdot \)” este asociativă şi aflaţi n\(\in \)N ştiind că A_{1\(\cdot \)}A_{4\(\cdot \)}A₉ … \(\cdot \)A\(_{{{n}^{2}}}\)= A₅₅.

(5p) c) Determinaţi elementele simetrizabile ale lui M. 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile f: R – {1, 2}\(\to \)R,  f(x) =\(\frac{{{x}^{2}}-2x+3}{{{x}^{2}}-3x+2}\) şi g: D\(\to \)R, g(x) = arcsin f(x).

 (5p) a) Determinaţi ecuaţia tangentei în punctul M (0, \(\frac{3}{2}\)) la graficul funcţiei f.

 (5p) b) Determinaţi D domeniul de definiţie al funcţiei g şi calculaţi g(-1).

 (5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{(f(x))}^{3x-g(-1)}}\).

2. Se consideră funcţiile f_n: (0, \(+\infty \))\(\to \)R, f_n(x) = xⁿ ln x.

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{{{f}_{n}}(x)}{{{x}^{n}}}}dx\).

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{1}{{{f}_{1}}{{(x)}^{{}}}}}dx\).

(5p) c) Determinaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei g: [1, 2]\(\to \)R, g(x) = f_n(x) /xⁿ .