Varianta 21

Prof: Ciocănaru Viorica

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi numerele \(z=\frac{{{(1+i)}^{12}}}{{{i}^{2012}}}\)  şi \(\overset{\_}{\mathop{z}}\,\).

(5p) 2. Se consideră ecuaţia \({{x}^{2}}+ax+b=0,\)cu x₁, x₂\(\in \)R şi a, b\(\in \)Z. Arătaţi că \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\in \)Z.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2^2x+1 + 2^x-1=132.

(5p) 4. Aflaţi valoarea lui a\(\in \)R astfel încât în binomul \({{(a+\frac{1}{2\sqrt{2}})}^{11}}\), T₉ să fie \(\frac{165}{{{2}^{11}}}\).

(5p) 5. Se consideră  punctele A(3, 2) şi B(-2, 4). Determinaţi ecuaţia mediatoarei segmentului AB. 

(5p) 6. Dacă tg² a = 2, calculaţi cos 2a.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(A\in \)M₃ (R) A = \(\left( \begin{matrix} p & p & p \\ p & p & p \\ p & p & p \\ \end{matrix} \right)\),  p\(\in \)R .

(5p) a) Calculaţi  A² .

(5p) b) Aflaţi valoarea det (A – I₃) det (A + I₃).

(5p) c) Arătaţi că Aⁿ = (3p)^n-1 \(\cdot \)A, \(\forall \)n\(\in \)N^*,\(\forall \)p\(\in \)R şi calculaţi A²⁰¹².

2. În inelul comutativ (Z,\(*\), \(\circ \)), x\(*\)y = x + y – n şi x\(\circ \)y = xy – n(x + y) + n(n + 1), \(\forall \)x, y\(\in \)Z, \(\forall \)n\(\in \)N^*.

(5p) a) Determinaţi elementul neutru al legii ” \(\circ \)”, pentru n = 2.

(5p) b) Rezolvaţi în Z\(\times \) Z sistemul \(\left\{ \begin{matrix} x*y=1 \\ x\circ y=n \\ \end{matrix} \right.\), \(\forall \)n\(\in \)N^*.

(5p) c) Determinaţi a, b \(\in \) Z, a nenul, pentru ca funcţia f: Z \(\to \)Z,  f (x) = ax + b să fie un izomorfism între inelele (Z,\(*\), \(\circ \)) şi (Z, + , \(\cdot \)), \(\forall \)n\(\in \)N^*.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile f: (\(\frac{2}{3}\), +\(\infty \))\(\to \)R, f(x) = ln (3x - 2), g: (1, +\(\infty \)) \(\to \)R,  g(x) = log_x (x +1), h: R\(\to \)R,  h(x) = 2x² + x - 3.

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{h(x)}\).

(5p) b) Fie funcţia k :D\(\to \)R, k(x) = \(\frac{f(x)}{h(x)}\). Calculaţi k’(x)  şi stabiliţi domeniul său de derivabilitate.

(5p) c) Arătaţi că g este strict descrescătoare pe (1, +\(\infty \)) şi verificaţi inegalitatea log₅ 6 < log₃ 4.

2. Se consideră funcţia f: R\(\to \)R, f_n(x) = xⁿe^-x, n\(\in \)N*.

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3}{{{f}_{1}}(x)}dx\).

(5p) b) Stabiliţi o relaţie de recurenţă pentru I_n, cu I_n = \(\int{{{f}_{n}}(x)dx}\), x\(\in \)R, n\(\in \)N^* şi aplicaţi relaţia găsită în cazul I₂.

 (5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{x}{{{f}_{n}}(t)}dt\).

BAREM DE EVALUARE