Varianta 23

Prof.  Cristea Maria

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.
  

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Să se calculeze $\frac{5}{2}\left( \frac{1}{1-2i}+\frac{1}{1+2i} \right)$.

(5p) 2. Să se determine $x\in \mathbb{R}$ astfel încât tripletul: $3x-1,x+3,9-x$  să constituie termenii consecutivi ai unei progresii geometrice.

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia ${{10}^{x}}+{{4}^{x}}-2\cdot {{25}^{x}}=0$.

(5p) 4. Se consideră mulţimea A={1,2,3,4,5,6}. Să se calculeze probabilitatea ca alegând la întamplare o submulţime dintre  submulţimile nevide ale mulţimii $A$ aceasta să aibă cel puţin 3  elemente.

(5p) 5. Să se determine numărul real $m$ știind că vectorii $\overrightarrow{u}=(m-3)\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}\,i\,\overrightarrow{u}=8\overrightarrow{i}-(15-m)\overrightarrow{j}$ sunt coliniari.

(5p) 6. Determinaţi raza cercului circumscris triunghiului cu laturile de lungimi 7, 5, respectiv 6.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 

1.Definim pe $\mathbb{R}$ legea de compoziţie “*” prin $x*y=3xy-6x-6y+14\,(x,y\in \mathbb{R})$.

(5p) a) Arătaţi că legea de compoziţie este bine definită.

(5p) b) Demonstraţi că ($(\mathbb{R},*)$ este monoid comutativ.

(5p) c) Rezolvați ecuația$x*x*x=11$.

2. Se consideră $a,b\in \mathbb{Q}$ şi funcţia polinomială $f(x)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+ax+b.$.

(5p) a) Să se determine $a,b$  ştiind că $1-i$ este rădăcină a funcţiei $f$ .

(5p) b) Să se determine tóate rădăcinile funcției $f(x)$  ştiind că $1+\sqrt{x}$ este una dintre rădăcinile acesteia.

(5p) c) Să se determine $a,b$ ştiind că ştiind ca funcţia  $f$ are o rădăcină triplă.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile ${{f}_{n}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\,{{f}_{0}}(x)=x{{e}^{x}}$ şi

${{f}_{n+1}}\left( x \right)={{f}_{n}}'\left( x \right),\forall n\in \mathbb{N},\forall x\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Să se rezolve ecuaţia${{f}_{2}}(x)=0$.

(5p) b) Să se calculeze $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{f}_{n+1}}(x)}{{{f}_{n}}(x)},\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

(5p) c) Să se determine asimptota la graficul funcţiei ${{f}_{0}}$ către $-\infty$.

2.  Se consideră funcţia $f:(-1;\infty )\to \mathbb{R},\,f(x)=\ln (1+x)-x$, şi şirul ${{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}$, definit prin ${{I}_{n}}=\int\limits_{{}}^{{}}{{}}$ ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{x}^{n}}}{2004+{{x}^{n}}} \right)}dx,\,\forall x\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

(5p) a) Să se calculeze $f'(x)$ ,$x>-1$ .

(5p) b) Utilizând metoda integrării prin părţi, să se arate că

          ${{I}_{n}}=\frac{1}{n}\ln \frac{2005}{2004}-\frac{1}{n}\int\limits_{0}^{1}{\ln (2004+{{x}^{n}})dx,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}$.

(5p) c) Să se calculeze$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,n{{I}_{n}}$ , unde${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{1+{{x}^{n}}}}dx.$

 BAREM DE EVALUARE