Varianta 36

Prof. Isofache Cătălina Anca

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi partea imaginară  a numărului: \({{\left( 1+i \right)}^{2014}}\).

(5p) 2. Rezolvaţi în RxR sistemul de ecuaţii:\(\left\{ \begin{matrix} {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=9 \\ x+y=3 \\ \end{matrix} \right.\).

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: \({{\log }_{2}}x+{{\log }_{x}}2=\frac{5}{2}\).

(5p) 4. Calculaţi numărul funcţiilor strict monotone \(f:\left\{ 1;2;3;4 \right\}\to \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}\).

(5p) 5. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia: \(2\sin x+\cos 2x=1\).

(5p) 6. Calculaţi aria triunghiului ABC, dacă A(1;2);B(-1;-2) şi C(0;-2).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaţii:\(\left\{ \begin{matrix} ax+by+cz=a \\ bx+cy+az=b \\ cx+ay+bz=c \\ \end{matrix} \right.\);a,b,c\(\in {{R}^{*}}\),cu necunoscutele (x,y,z)\(\in {{R}^{3}}\).

(5p) a) Arătaţi că determinantul sistemului este \(\Delta \)=(a+b+c)(-a\(^{2}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}+ab+bc+ca)\).

(5p) b)Rezolvaţi sistemul in cazul în care acesta este compatibil determinat.

(5p) c) Dacă \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-ac-bc=0\)şi \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=0\),demonstraţi că sistemul are soluţie unică.

2. Se consideră mulţimea G=\(\left\{ \left( \begin{matrix} x & 5y \\ -y & x \\ \end{matrix} \right)\ /x,y\in Z \right\}\).

(5p) a)Arătaţi că,pentru orice A,B\(\in G\) rezultă A+B\(\in G\) şi AB\(\in G\).

(5p) b) Dacă A,B\(\in G\) şi AB=\({{O}_{2}}\),demonstraţi că A=\({{O}_{2}}\) sau B=\({{O}_{2}}\).

(5p) c) Calculaţi elementele inversabile ale inelului (G;+;∙).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R\), f(x)=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4).

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{4}}}\).

(5p) b) Arătaţi că ecuaţia \({{f}^{'}}(x)=0\)are trei rădăcini reale distincte.

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f{{(x)}^{\frac{1}{x}}}\).

2. Se consideră şirurile \({{I}_{n}}=\int\limits_{-3}^{3}{{{x}^{n}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}}dx\) şi \({{J}_{n}}=\int\limits_{-1}^{1}{{{x}^{n}}\sqrt{9-{{x}^{2}}}}dx\),unde n\(\in N\)

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\) şi \({{I}_{2}}\).

(5p) b) Demonstraţi că \({{I}_{2n+1}}=0\),pentru orice n\(\in N\).

(5p) c) Calculaţi \({{J}_{2n+2}}\) în funcţie de \({{J}_{2n}}\).

BAREM DE EVALUARE