Varianta 38

Prof. Isofache Cătălina Anca

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi \({{(1+i)}^{3}}+{{(1-i)}^{3}}\).

(5p) 2.Determinaţi minimul funcţiei \(f:R\to R\), \(f(x)=3{{x}^{2}}+x+5\).

(5p) 3.Rezolvaţi în R ecuaţia: \({{\sin }^{2}}x=\cos x-1\).

(5p) 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr natural format din trei cifre,acesta să fie divizibil cu 6.

(5p) 5. Calculaţi valorile reale ale parametrului m,dacă mediana din vârful C al triunghiului ABC cu A(m+1;2);B(2;4) şi C(m-1;2) are lungimea \(\sqrt{2}\).

(5p) 6. Determinaţi valorile reale ale lui a, ştiind că vectorii \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+(a-3)\overrightarrow{j}\)  şi \(\overrightarrow{v}=(a+1)\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}\) sunt coliniari.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră punctele A(m+1;2);B(m;m), C(2m+1;5) şi matricea \(M=\left( \begin{matrix} m+1 & 2 & 1 \\ m & m & 1 \\ 2m+1 & 5 & 1 \\ \end{matrix} \right)\), m\(\in R\).

(5p) a) Calculaţi rangul matricei M.

(5p) b) Demonstraţi că există triunghiul ABC, pentru orice m\(\in R\).

(5p) c) Calculaţi valoarea minimă a ariei triunghiului ABC.

2. Se consideră legea de compoziţie \(x\circ y=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}}\), \(\forall x,y\in G;G=[0;\infty )\).

(5p) a) Arătaţi că legea de compoziţie este asociativă.

(5p) b) Calculaţi elementele simetrizabile ale mulţimii G, în raport cu legea de compoziţie.

(5p) c) Rezolvaţi în mulţimea G ecuaţia \(\underbrace{x\circ x\circ ...\circ x}_{2014\ ori}=x\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţiile \(f;g:R\to R\), \(f(x)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+3\) şi \(g(x)={{e}^{x}}\).

(5p) a) Calculaţi \(\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-42}{x-3}\).

(5p) b) Demonstraţi că \(g(x)\ge x+1\),oricare ar fi \(x\in R\).

(5p) c) Arătaţi că \(g({{x}^{3}})+g({{x}^{2}})+g(x)\ge f(x),\forall x\in R\).

2. Se consideră funcţiile \(f:(2;\infty )\to R\), \(f(x)=\frac{3{{x}^{2}}-4x-1}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}\)  ;\(g:(2;\infty )\to R\) \(g(x)=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+1}\);  A,B,C\(\in R\) şi \(F:[e;{{e}^{2}}]\to R\), \(F(x)=\int\limits_{x}^{x+1}{f(t)dt}\)+\(\ln \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x+2}\).

(5p) a) Calculaţi A,B şi C , ştiind că  f(x)=g(x) , \(\forall x\in (2;\infty )\)

(5p) b) Determinaţi aria cuprinsă între graficul funcţiei f,axa Ox şi dreptele de ecuaţii x=3 şi x=4.

(5p) c) Calculaţi volumul corpului obţinut prin rotirea graficului funcţiei F în jurul axei Ox.

BAREM DE EVALUARE