Varianta 44

Prof. Marcu Ştefan Florin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi suma : \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{{{3}^{2}}}-...+\frac{1}{{{3}^{6}}}\) .

(5p) 2. Se consideră funcţiile \(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2x+1,g(x)=x+3\) . Calculaţi \(f(g(0))-g(f(0))\).

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale, ecuaţia : \(\sqrt{{{x}^{2}}+1}=x-3\).

(5p) 4. Aflaţi câte numere naturale de trei cifre distincte, se pot scrie cu cifrele pare nenule .

(5p) 5. Fie vectorii : \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j},\overrightarrow{a}=5\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\) . Să se determine numerele reale x, y astfel încât \(\overrightarrow{a}=x\cdot \overrightarrow{u}+y\cdot \overrightarrow{v}\) .

(5p) 6. Fie \(x\in (0,\frac{\pi }{2})\) cu \(\sin x=\frac{1}{3}\) . Calculaţi sin2x.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În reperul cartezian XOY  se consideră punctele \({{A}_{n}}(2n-1,2n+1)\)  cu \(n\in \mathbb{N}\).

(5p) a) Calculaţi aria triunghiului \(O{{A}_{2013}}{{A}_{2014}}\).

(5p) b) Arătaţi că, punctele \({{A}_{m}},{{A}_{n}},{{A}_{p}}\) sunt coliniare, oricare ar fi \(m,n,p\in \mathbb{N}\).

(5p) c) Aflaţi câte drepte distincte, determină punctele \(O,{{A}_{0}},{{A}_{1}},...,{{A}_{2014}}\).

2. Pe mulţimea numerelor reale, se defineşte legea de compoziţie: \(x\circ y=x\cdot y-ax-ay+2\)

(5p) a) Să se afle \(a\in \mathbb{R}\) ştiind că \(x\circ y=(x-1)(y-1)+1\), \((\forall )x,y\in R\).

(5p) b) Pentru a=1, verificaţi dacă numărul \(\frac{2014}{2015}\) este simetricul numărului 2014, în raport cu legea \(''\circ ''\) .

(5p) c) Aflaţi valorile reale ale lui a, pentru care : \(x\circ x\)> 0, \(\forall x\in \mathbb{R}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}*\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{x}\).

(5p) a) Aflaţi ecuaţia asimptotei orizontale spre \(-\infty \)la graficul funcţiei f .

(5p) b) Calculaţi \(f'(x)\).

(5p) c) Demonstraţi că : \(\frac{2014}{\ln 2014}\) > \(\frac{2013}{\ln 2013}\).

2. . Se consideră şirul : \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{x{{(1-x)}^{n}}dx,n\in \mathbb{N}}\).

(5p) a) Calculaţi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Demonstraţi că şirul \({{({{I}_{n}})}_{n\in N}}\) este convergent .

(5p) c) Arătaţi că : \({{I}_{n}}=\frac{1}{(n+1)(n+2)},\forall n\in \mathbb{N}\) .