Varianta 45

Prof. Nicolaescu Nicolae

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați modulul numărului complex $(1+i)(2-3i)$.

(5p) 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+1=0$ .

(5p) 3. Determinați valoarea minimă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-7x+6$.

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7.

(5p) 5. Se consideră punctele A și B astfel încât $\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$  și $\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}$. Calculați lungimea vectorului $\overrightarrow{AB}$ .

(5p) 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dacă $AB=2,AC=3,m(\widehat{A})=\frac{5\pi }{6}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră determinantul $D(x)=\begin{vmatrix} 2^{x} & 0 & 1\\ x & 2^{x} & -2\\ 0 & x & 1 \end{vmatrix},x\in \mathbb{R}.$

(5p) a) Arătați că D(x) este pătrat perfect, $\forall x\in \mathbb{N}$.

(5p) b) Calculați D(0).

(5p) c) Rezolvați în R ecuația $D(x)={{2}^{2x}}$ .

2. Pe mulțimea $G=(\sqrt{3},\infty )$ se consideră legea de compoziție $x*y=\sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+12}$

(5p) a) Să se arate că legea este asociativă.

(5p) b) Să se determine elementul neutru al legii.

(5p) c) Să se rezolve în G ecuația $x*1=1$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie $f:D\to \mathbb{R},f(x)=\ln (1+\frac{2014}{x})$, unde D reprezintă domeniul maxim de definiție al funcției.

 (5p) a) Determinați domeniul maxim de definiție D.

(5p)  b) Calculați $f'(x)$.

(5p)  c) Determinați asimptota la graficul funcției către $+\infty$.

2. Fie $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\left\{\begin{align} & x{{e}^{x}},x\le 0 \\ & {{\sin}^{3}}x,x>0 \\ \end{align}\right.$

(5p) a) Să se arate că f admite primitive pe R.

(5p) b) Să se calculeze $\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}$ .

(5p) c) Să se calculeze $\underset{\begin{smallmatrix}  x\to \infty  \\  x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}$ .