Varianta 45

Prof. Nicolaescu Nicolae

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați modulul numărului complex \((1+i)(2-3i)\).

(5p) 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \({{4}^{x+1}}-{{2}^{x+2}}+1=0\) .

(5p) 3. Determinați valoarea minimă a funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{x}^{2}}-7x+6\).

(5p) 4. Calculați probabilitatea ca alegând la întâmplare un număr de două cifre, acesta să fie divizibil cu 7.

(5p) 5. Se consideră punctele A și B astfel încât \(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}\)  și \(\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}\). Calculați lungimea vectorului \(\overrightarrow{AB}\) .

(5p) 6. Calculați lungimea laturii BC a triunghiului ABC dacă \(AB=2,AC=3,m(\widehat{A})=\frac{5\pi }{6}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră determinantul \(D(x)=\begin{vmatrix} 2^{x} & 0 & 1\\ x & 2^{x} & -2\\ 0 & x & 1 \end{vmatrix},x\in \mathbb{R}.\)

(5p) a) Arătați că D(x) este pătrat perfect, \(\forall x\in \mathbb{N}\).

(5p) b) Calculați D(0).

(5p) c) Rezolvați în R ecuația \(D(x)={{2}^{2x}}\) .

2. Pe mulțimea \(G=(\sqrt{3},\infty )\) se consideră legea de compoziție \(x*y=\sqrt{{{x}^{2}}{{y}^{2}}-3{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+12}\)

(5p) a) Să se arate că legea este asociativă.

(5p) b) Să se determine elementul neutru al legii.

(5p) c) Să se rezolve în G ecuația \(x*1=1\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:D\to \mathbb{R},f(x)=\ln (1+\frac{2014}{x})\), unde D reprezintă domeniul maxim de definiție al funcției.

 (5p) a) Determinați domeniul maxim de definiție D.

(5p)  b) Calculați \(f'(x)\).

(5p)  c) Determinați asimptota la graficul funcției către \(+\infty \).

2. Fie \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},f(x)=\left\{\begin{align} & x{{e}^{x}},x\le 0 \\ & {{\sin}^{3}}x,x>0 \\ \end{align}\right.\)

(5p) a) Să se arate că f admite primitive pe R.

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}\) .

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{\begin{smallmatrix}  x\to \infty  \\  x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{{{x}^{2}}}\) .