FaceBook  Twitter  

Varianta 46

Prof.  Nicolaescu Nicolae

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați [2014]+[20142013].

(5p) 2. Se consideră șirul (an)n1 definit prin an=5n3. Arătați că șirul este o progresie aritmetică.

(5p) 3. Fie x1 și x2 soluțiile ecuației x2+3x+3=0.Calculați x21+x22x1x2

(5p) 4. Se consideră funcția f:RR, f(x)=1+3x. Rezolvați în R ecuația ff=f.

(5p) 5.  Fie x(0,π2)și cosx=33. Calculați tgx.

(5p) 6. Fie paralelogramul ABCD cu AB=6, BC=8, m(ˆB)=π6. Calculați aria triunghiului ABO, unde O este punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră sistemul {x+2y3z=1mxy+z=1xmyz=2 , mR

(5p) a) Calculați determinantul matricei A, unde A reprezintă matricea asociată sistemului.

(5p) b) Determinați valorile reale ale lui m astfel încât matricea A să fie inversabilă.

(5p) c) Arătați că sistemul este incompatibil  pentru m= -1.

  1. Se consideră polinomul f=X3(m2+n2)X2+(m+n)X+1, m,nR.

(5p) a) Calculați f(0).

(5p) b) Determinați m,nR, astfel incât între rădăcinile polinomului x1,x2,x3să existe relația x1+x2+x3+x1x2+x1x3+x2x3=12.

(5p) c) Pentru m=1 și n=0 calculați f(1)+f(2)+…+f(100).

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcția f:R{2}R, f(x)=2014xx2.

(5p) a) Calculați f(x).

(5p) b) Arătați că f(x)<2014,x(,2).

(5p) c) Calculați limx2x>2arctg2x2f(x)

  1. Se consideră funcțiile f,g:(0,)R,f(x)=x3(lnx1),g(x)=x2(3lnx2)

(5p) a) Arătați că f este o primitivă a lui g.

(5p) b) Calculați e1g(x)dx.

(5p) c) Calculați limx0x>0f(x)