Varianta 46
Prof. Nicolaescu Nicolae
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Calculați [√2014]+√[20142013].
(5p) 2. Se consideră șirul (an)n≥1 definit prin an=5n−3. Arătați că șirul este o progresie aritmetică.
(5p) 3. Fie x1 și x2 soluțiile ecuației x2+3x+3=0.Calculați x21+x22x1x2
(5p) 4. Se consideră funcția f:R→R, f(x)=1+3x. Rezolvați în R ecuația f∘f=f.
(5p) 5. Fie x∈(0,π2)și cosx=√33. Calculați tgx.
(5p) 6. Fie paralelogramul ABCD cu AB=6, BC=8, m(ˆB)=π6. Calculați aria triunghiului ABO, unde O este punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră sistemul {x+2y−3z=1mx−y+z=−1x−my−z=2 , m∈R
(5p) a) Calculați determinantul matricei A, unde A reprezintă matricea asociată sistemului.
(5p) b) Determinați valorile reale ale lui m astfel încât matricea A să fie inversabilă.
(5p) c) Arătați că sistemul este incompatibil pentru m= -1.
- Se consideră polinomul f=X3−(m2+n2)X2+(m+n)X+1, m,n∈R.
(5p) a) Calculați f(0).
(5p) b) Determinați m,n∈R, astfel incât între rădăcinile polinomului x1,x2,x3să existe relația x1+x2+x3+x1x2+x1x3+x2x3=−12.
(5p) c) Pentru m=1 și n=0 calculați f(1)+f(2)+…+f(100).
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcția f:R−{2}→R, f(x)=2014xx−2.
(5p) a) Calculați f′(x).
(5p) b) Arătați că f(x)<2014,∀x∈(−∞,2).
(5p) c) Calculați limx→2x>2arctg2√x−2⋅f(x)
- Se consideră funcțiile f,g:(0,∞)→R,f(x)=x3(lnx−1),g(x)=x2(3lnx−2)
(5p) a) Arătați că f este o primitivă a lui g.
(5p) b) Calculați e∫1g(x)dx.
(5p) c) Calculați limx→0x>0f(x)