Varianta 50

Prof: Nicolaescu Nicolae.

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi \(x,y\in R\)astfel încât \(\left( 2x+3yi \right)-\left( y-xi \right)=2+i\).

(5p) 2. Să se rezolve în \(\left( 0,\infty  \right)\)ecuaţia \(\log _{3}^{2}x+{{\log }_{3}}9x-4=0\).

(5p) 3. Se consideră funcţia \(f:R\to R,\ f(x)=m{{x}^{2}}-2mx+3\).Să se determine \(m\in R\)astfel încât graficul funcţiei f să nu intersecteze axa Ox.

(5p) 4. Să se calculeze \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{3}^{8}}}\).

(5p) 5. Se consideră punctele A(3,a),B(-1,2),C(2,a),D(4,0).Să se determine \(a\in R\)astfel încât \(AB\bot CD\).

(5p) 6. Să se arate că \(\frac{\sqrt{6}\sin {{135}^{o}}}{\cos {{150}^{o}}}\in Z\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră mulţimea \(G=\left\{ M\left( x \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)/M\left( x \right)=\left( \begin{matrix} {{2}^{x}} & 0 & 0 \\ 0 & {{3}^{x}} & 0 \\ 0 & 0 & {{5}^{x}} \\ \end{matrix} \right) \right\}\).

(5p) a) Să se arate că \(\left( G,\cdot  \right)\)grup abelian.

(5p) b) Să se arate că \(\left( R,+ \right)\simeq \left( G,\cdot  \right)\).

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia \(\det \left( M\left( x \right)\cdot M\left( 2x \right)\cdot ...\cdot M\left( 2012x \right) \right)={{30}^{2012}}\).

1. În \({{Z}_{5}}\left[ X \right]\) se consideră polinoamele \(f={{X}^{3}}+\widehat{2}{{X}^{2}}+\widehat{4},\ g=X+\widehat{3}\).

(5p) a) Să se arate că \(g/f\).

(5p) b) Descompuneţi polinomul f în \({{Z}_{5}}\left[ X \right]\).

(5p) c) Câte perechi  \((a,b)\in {{Z}_{5}}\times {{Z}_{5}}\)verifică relaţia \({{(\widehat{a}x+\widehat{b})}^{2}}=\widehat{4}{{x}^{2}}+x+\widehat{1},(\forall )x\in {{Z}_{5}}\)?

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:R\to R\), \(f(x)={{e}^{x}}\left( a{{x}^{2}}+bx+c \right)\).

(5p) a) Să se determine \(a,b,c\in R\) astfel încât \(f'(x)={{e}^{x}}\left( 3{{x}^{2}}+7x+3 \right)\).

(5p) b) Pentru a=3,b=1, c=2 să se calculeze asimptota la graficul funcţiei f către \(-\infty \).

(5p) c) Pentru \(a=3,b=1,c=2\)să se rezolve ecuaţia \(f(\ln x)=6x\).

1. Fie funcţia \(f:R\to R\), \(f(x)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}\sin x,x\le 0 \\ & \ln \left( x+1 \right),x>0 \\ \end{align} \right.\).

(5p) a) Să se arate că f admite primitive pe R.

(5p) b) Să se determine primitiva funcţiei f care îndeplineşte condiţia \(F(0)=1\).

(5p) c) Să se calculeze \(\underset{\begin{smallmatrix} x\to 0 \\ x>0 \end{smallmatrix}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}}{{{x}^{2}}}\).