Varianta 52

Prof. Oancea Cristina

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Se considera functia\(f:R\to R\),\(f(x)=m{{x}^{2}}-mx+1\),\(m\in {{R}^{*}}\).Sa se determine numarul real m stiind ca valoarea minima a functiei este egala cu4.

 (5p) 2. Sa se determine solutiile reale ale ecuatiei

\(2\cdot {{9}^{x}}-3\cdot {{3}^{x}}+1=0\)

(5p) 3.. In reperul cartezian xOy se considera punctele A(2;3),B(10;17).Determinati coordonatele

punctului M, stiind ca \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\)

(5p) 4. Sa se determine numarul real a daca dreptele 3x+2y-5=0 si ax+6y+1=0 sunt paralele.

(5p) 5. Sa se calculeze\({{\sin }^{2}}{{135}^{\circ }}+{{\cos }^{2}}{{45}^{\circ }}\)  

(5p) 6. Determinati \(x\in (0;\frac{\pi }{2})\), stiind ca \(\frac{tgx+2ctgx}{ctgx}=3\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se considera sistemul \(\left\{\begin{align} & mx-y+4z=4 \\ & x-2y+2z=-1 \\ & 3x-y+z=2 \\ \end{align}\right.\) , unde m este un parametru real.

(5p) a) Sa se afle valorile reale ale lui m , pentru care tripletul (1,2,1) este solutie a sistemului de ecuatii.

(5p) b) Sa se arate ca \(\forall m\in \mathbb{Q}\) , sistemul este compatibil determinat.

(5p) c) Sa se arate ca determinantul matricei asociate sistemului <16 ,\(\forall m\in \mathbb{N}\)

2. Se considera polinoamele cu coeficiente rationali \(f(x)=6{{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+14x+4\) si

\(g(x)=3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+1\)

(5p) a) Pentru a =12 si b=6 , sa se calculeze \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\)

(5p) b) Sa se determine a, b \(\in \) R astfel incat polinomul f(x) sa fie divizibil cu polinomul g(x).

(5p) c) Pentru a =14 si b=10 sa se descompuna polinomul f(x) in produs de factori ireductibili in Q[x].

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia \(f:R/\{5\}\to R,f(x)=\frac{{{x}^{2}}+6x+9}{x+5}\)

(5p) a) Sa se scrie ecuatia asimptotei oblice spre +\(\infty \) a graficului functiei f.

(5p) b) Sa se determine punctele de extrem pentru functia f.

(5p) c) Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei in punctul de abscisa 0.

2. Se considera functia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=\left\{ \begin{align} & {{e}^{x}}+1,x\in (-\infty ;0) \\ & 2-x,x\in \left[ 0;\infty \right) \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Sa se arate ca functia f admite primitive pe R.

(5p) b) Sa se determine volumul corpului obtinut prin rotatia in jurul axei Ox a graficului functiei f(x).

(5p) c) Sa se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{x\cdot f(x)dx}\)