Varianta 54

Prof. Oancea Cristina

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Determinati n\(\in N,n\ge 1\) pentru care \(A_{n}^{1}+C_{n}^{1}=36\)

(5p) 2.Pretul unui produs este de 215 lei,el se scumpeste cu 10%.Calculati pretul produsului dupa scumpire.

(5p) 3.Aratati ca \(\left( \sqrt{6};\sqrt{12} \right)\cap Z=\left\{ 3 \right\}\)

(5p) 4. Aflati cardinalul multimii\(A=\{x\in Z/\left| 3x+2 \right|\le 11\}\)

(5p) 5. Determinati numarul real m pentru care ecuatia x\(^{2}\) -(m-2)x+2m=0

(5p) 6. Calculati

\(\cos {{60}^{\circ }}+\cos {{70}^{\circ }}+\cos {{80}^{\circ }}+\cos {{100}^{\circ }}+\cos {{110}^{\circ }}+\cos {{120}^{\circ }}\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se considera matricele A=\(\left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 8 & 7 \\ \end{matrix} \right),B=\left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ -8 & 1 \\ \end{matrix} \right),{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Sa se calculeze A\(^{2}+{{B}^{2}}\)

(5p) b) Verificati daca det(A+B)=det(A)+det(B)

(5p) c) Stiind ca C=A+B sa se calculeze \({{C}^{1}}+{{C}^{2}}+{{C}^{3}}+........{{C}^{2014}}\)

2. Fie polinomul \(f(x)={{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+26x-24\) si \(g(x)=x-4\)

(5p) a) Sa se determine catul si restul impartirii polinomului f(x) la g(x)

(5p) b) Sa se calculeze x\(_{1}^{2}\)+x\(_{2}^{2}\)+x\(_{3}^{2}\) 

(5p) c) Sa se descompuna polinomul f(x) in produs de factori ireductibili.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1.Se considera functia \(f:(0;\infty )\to R\) definita prin \(f(x)=\frac{1}{{{x}^{3}}}+\frac{1}{{{(x+2)}^{3}}}\)  

(5p) a) Calculati \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\)

(5p) b) Aflati asimptotele graficului functiei f(x).

(5p) c) Sa se calculeze \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{4}}\cdot {f}'(x)\)

2. Pentru \(\forall n\in N\) se considera functiile \({{f}_{n}}(x):R\to R,{{f}_{n}}(x)={{(x-3)}^{n}}si\) integralele \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{3}{{{f}_{n}}}(x)dx\)

(5p) a) Sa se calculeze \({{I}_{2}}\)

(5p) b) Sa se calculeze aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei \({{f}_{2014}}(x)\) si dreptele x=0 si x=3

(5p) c) Sa se calculeze \(\int\limits_{0}^{3}{x\cdot {{f}_{n}}}(x)dx\)