Varianta 55

Prof. Oláh Csaba

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine numărul natural \(x\)din egalitatea:\(1+4+7+...+x=145\).

(5p) 2. Fie \({{x}_{1}}\)şi \({{x}_{2}}\) soluţiile ecuaţiei \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\),\(m\in R\). Să se demonstreze că expresia

\(m\cdot \left( \frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}-1 \right)\)nu depinde de \(m\).

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia \(\sin x+\cos x=\sqrt{2}\), \(x\in \left[ 0,2\pi  \right]\).

(5p) 4. Să se afle termenul dezvoltării binomului \({{\left( \sqrt{a}+\frac{4}{\sqrt[3]{a}} \right)}^{150}}\), \(a>0\)care nu conţine pe \(a\).

(5p) 5. Să se determine numărul real \(m\) astfel încât punctele \(A\left( 1,2m+1 \right)\), \(B\left( 2,9 \right)\) şi \(C\left( 4,4m+1 \right)\) să fie coliniare.

(5p) 6. Dacă \(\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\) şi \(t{{g}^{2}}\alpha =8\), să se calculeze \(\cos x\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea \(V\left( a,b,c \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{2}} & {{b}^{2}} & {{c}^{2}} \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)\), şi \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) rădăcinile ecuaţiei \({{x}^{3}}-3x+2=0\).

(5p) a) \(\det \left( V\left( 1,2,3 \right) \right)=?\);

(5p) b) Să se calculeze produsul \(V\left( a,b,c \right)\cdot {}^{t}V\left( a,b,c \right)\);

(5p) c) Să se calculeze valoarea determinantului \(\det \left( V\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right) \right)\).

2. Fie polinomul \(f\in R\left[ X \right]\), \(f=X\left( X+1 \right)\left( X+2 \right)\left( X+3 \right)\).

(5p) a) Să se demonstreze că \(k\in {{Z}^{*}}\) astfel încât\(f\left( k \right)={{m}^{2}}\),\(m\in Z\);

(5p) b) Să se afle \(k\), dacă \(f\left( k \right)=-1\),\(k\in R\);

(5p) c) Să se calculeze suma \(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{f\left( k \right)}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:R\to R\), \(f\left( x \right)=\left( x-5 \right)\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+7 \right)\).

(5p) a) Să se calculeze limita \(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}-5x+4}\);

(5p) b) Să se calculeze \(\frac{{{f}^{'}}\left( 2 \right)}{f\left( 2 \right)}\);

(5p) c) Să se arate că \({{f}^{'}}\)are trei rădăcini reale.

2. Fie funcţiile \(f,g:R\to R\),\(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-x+1}\), \(g\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int{f\left( x \right)dx}\);

(5p) b) Dacă \(H\left( x \right)\) este o primitivă a funcţiei \(h:R\to R\), \(h\left( x \right)=f\left( x \right)+g\left( x \right)\), să se arate că \(H\left( x \right)\)este o funcţie crescătoare;

(5p) c) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]}dx\).