Varianta 59

Prof: Păcurar Cornel-Cosmin

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze \(\left( 1-2i \right)\left( 1+i \right)-3\left( 3-2i \right)\).

(5p) 2. Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{{{x}^{2}}-x+1}=x+2\).

(5p) 3.Rezolvați în \(\left[ 0,2\pi  \right)\) ecuația \(\cos \left( x-\frac{\pi }{3} \right)=\frac{1}{2}\).

(5p) 4.Se consideră mulțimea \(A=\left\{ 1,2,3,...,11 \right\}\).Determinați numărul de  submulțimi cu 4 elemente ale mulțimii A,submulțimi care conțin exact 3 numere impare.

(5p) 5.Calculați lungimea medianei din A în  \(\vartriangle ABC\), unde \(A\left( -1;3 \right),B\left( 1;5 \right)\) și \(C\left( 3;-1 \right)\).

(5p) 6.Fie x un număr real care verifică egalitatea  \(tgx+ctgx=3.\)Arătați că \(\sin 2x=\frac{2}{3}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Se consideră matricea \(A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} 1 & x & {{x}^{2}} \\ 0 & 1 & -2x \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),\)unde \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) a)Arătați că  \(A\left( x \right)\cdot A\left( y \right)=A\left( x+y \right),\)oricare ar fi \(x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b)Arătați că  \({{\left( A\left( x \right)-A\left( y \right) \right)}^{2012}}={{O}_{3}},\) pentru orice \(x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Determinați inversa matricei \(A\left( x \right),\)unde \(x\in \mathbb{R}\).

2.Se consideră polinomul \(f={{\left( x+2i \right)}^{10}}+{{\left( x-2i \right)}^{10}}\), având forma algebrică  \(f={{a}_{10}}{{X}^{10}}+{{a}_{9}}{{X}^{9}}+...+{{a}_{1}}X+{{a}_{0}},\)unde \({{a}_{0}},{{a}_{1}},...,{{a}_{10}}\in \mathbb{C}.\)

(5p) a)Determinațirestul împărțirii polinomului \(f\) la \(X-2i\).

(5p) b) Arătați că toți coeficienții polinomului \(f\) sunt numere reale.

(5p) c) Demonstrați că tóate rădăcinile polinomului \(f\) sunt numere reale.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left( 2;+\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\ln \left( x+2 \right)-\ln \left( x-2 \right)\).

(5p) a) Arătați că funcția \(f\) este strict descrescătoare pe \(\left( 2;+\infty  \right)\).

(5p) b) Determinați asimptotele graficului funcției \(f\).

(5p) c) Calculați \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,xf\left( x \right)\).

2.Se consideră funcția \(f:\left[ 1;3 \right]\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3\).

(5p) a)Calculați  \(\int\limits_{1}^{9}{f\left( \sqrt{x} \right)dx}\).

(5p) b)Calculați aria suprafeței determinate de graficul funcției  \(g:\left[ 1;3 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=\frac{f\left( x \right)}{x}\) și axa \(Ox\).

(5p) c)Arătați că  \(\left( 2n+1 \right)\int\limits_{1}^{3}{{{f}^{n}}\left( x \right)dx+2n\int\limits_{1}^{3}{{{f}^{n-1}}\left( x \right)dx=0}}\).