Varianta 62

Prof. Pascotescu Camelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuaţia \(2\bar{z}+z=3+2i\) .

(5p) 2. Ştiind că \({{x}_{1}}\) şi \({{x}_{2}}\) sunt rădăcinile ecuaţiei \({{x}^{2}}+3x+1=0\) , să se calculeze \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) .

(5p) 3. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(1+{{2}^{x}}-2\cdot {{4}^{x}}=0\) .

(5p) 4. Să se calculeze numărul submulţimilor cu \(3\) elemente ale unei mulţimi cu \(5\) elemente.

(5p) 5. Calculaţi distanţa de la punctul \(A(1;3)\) la dreapta de ecuaţie \(d:2x+3y-1=0\) .

(5p) 6. Ştiind că \(\sin x+\cos x=1\), aflaţi \(\sin 2x\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulţimea \({{S}_{4}}\) a permutărilor de gradul \(4\) se consideră \(\alpha =\left( \begin{align} & \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} 3 & 1 & 4 & 2 \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right)\) şi \(\beta =\left( \begin{align} & \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{matrix} \\ & \begin{matrix} 4 & 2 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{align} \right)\) .

(5p) a) Să se calculeze \(\alpha \circ \beta \).

(5p) b) Să se determine \(x\in {{S}_{4}}\) astfel încât \(\text{x }\circ \text{ }\alpha =\beta \) .

(5p) c) Să se arate că nu există \(x\in {{S}_{4}}\) astfel ca \({{x}^{4}}=\alpha \) .

2. Se consideră polinomul \(f={{(1+X+{{X}^{3}})}^{30}}\in \mathbb{Z}[X]\) cu forma algebrică \(f={{a}_{30}}{{X}^{30}}+...+{{a}_{1}}X+{{a}_{0}}\) .

(5p) a) Să se calculeze \(f(-1)+f(1)\) .

(5p) b) Să se arate că suma \({{a}_{0}}+{{a}_{1}}+...+{{a}_{30}}\) este divizibilă cu \(3\).

(5p) c) Să se determine restul împărţirii lui \(f\) la \({{X}^{2}}-1\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Considerăm funcţia \(f:{{\mathbb{R}}^{*}}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{e}^{x}}}{{{x}^{2}}}.\)

(5p) a) Determinaţi \(f'(x)\) .

(5p) b) Studiaţi monotonia funcţiei f.

(5p) c) Arătaţi că \(2{{e}^{\sqrt{3}}}<3{{e}^{\sqrt{2}}}\) .$$

2. Fie ${{I}_{1}}=\int{\frac{\sin x}{2\sin x+3\cos x}}dx$\({{I}_{2}}=\int{\frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}}dx\)

(5p) a) Să se calculeze \(2{{I}_{1}}+3{{I}_{2}}\) .

(5p) b) Să se calculeze \(2{{I}_{2}}-3{{I}_{1}}\)  .

(5p) c) Să se determine \({{I}_{1}}\) şi \({{I}_{2}}\) .