Varianta 63

Prof. Pascotescu Camelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie funcţia $f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ , $f(x)={{(-1)}^{x}}+{{(-2)}^{x+1}}$ . Calculaţi $f(3)$ .

(5p) 2. Arătaţi că $\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}\in \ \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ .

(5p) 3. Fie funcţia $f:\{1,2,3\}\to \{-1,-2,-3\}$, $f$ injectivă . Calculaţi suma $f(1)+f(2)+f(3)$ .

(5p) 4. Să se afle numărul real m pentru care  graficul funcţiei $f=3{{x}^{2}}-(m+2)x+7$  are axa de simetrie x=1.

 (5p) 5. În plan se consideră punctele $A(2,3),B(1,0)$ şi $C(-1,4)$ . Arătaţi că vectorii $\overrightarrow{AB}$ şi $\overrightarrow{AC}$ sunt perpendiculari.

(5p) 6. Determinaţi ecuaţia medianei din $B$ a triunghiului cu vârfurile $A(-1,2),B(2,-3),C(1,-4)$ .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul $\left\{ \begin{align} & x+2y+z=1 \\ & 2x-y+z=1 \\ & 7x-y+bz=a \\ \end{align} \right.$ unde $a,b\in \mathbb{R}$ .

(5p) a) Să se determine b astfel încât rangul matricei sistemului să fie $2$ .

(5p) b) Să se determine  a şi b pentru care sistemul este incompatibil.             

(5p) c) Să se rezolve sistemul in cazul in care este compatibil nedeterminat .

2. Se consideră mulţimea $G$ a matricelor $A(a)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & \ln a \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$ , $a\in (0;\infty )$ .

(5p) a) Să se arate că $(G,\cdot )$ are o structură de grup abelian .

(5p) b) Să se calculeze $A{{(a)}^{2011}}$ .

(5p) c) Să se demonstreze că grupul $(G,\cdot )$ este izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:(0;\infty )\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}$ .

(5p) a) Să se calculeze derivata funcţiei f.

(5p) b) Să se determine imaginea  funcţiei f  .

(5p) c) Să se demonstreze inegalitatea $e\cdot \ln x\le 2\sqrt{x},\forall x\in (1;\infty )$ .

2. Fie Şirul ${{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}$ definit prin ${{I}_{n}}=\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\text{t}{{\text{g}}^{2n}}t\ \text{d}t}$ , $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{1}}$ .

(5p) b) Să se arate că ${{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{2n+1}$ , pentru orice $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

(5p) c) Să se arate că şirul ${{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}$ este convergent la $0$ .