Varianta 63

Prof. Pascotescu Camelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie funcţia \(f:\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\) , \(f(x)={{(-1)}^{x}}+{{(-2)}^{x+1}}\) . Calculaţi \(f(3)\) .

(5p) 2. Arătaţi că \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}\in \ \mathbb{R}-\mathbb{Q}\) .

(5p) 3. Fie funcţia \(f:\{1,2,3\}\to \{-1,-2,-3\}\), \(f\) injectivă . Calculaţi suma \(f(1)+f(2)+f(3)\) .

(5p) 4. Să se afle numărul real m pentru care  graficul funcţiei \(f=3{{x}^{2}}-(m+2)x+7\)  are axa de simetrie x=1.

 (5p) 5. În plan se consideră punctele \(A(2,3),B(1,0)\) şi \(C(-1,4)\) . Arătaţi că vectorii \(\overrightarrow{AB}\) şi \(\overrightarrow{AC}\) sunt perpendiculari.

(5p) 6. Determinaţi ecuaţia medianei din \(B\) a triunghiului cu vârfurile \(A(-1,2),B(2,-3),C(1,-4)\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{align} & x+2y+z=1 \\ & 2x-y+z=1 \\ & 7x-y+bz=a \\ \end{align} \right.\) unde \(a,b\in \mathbb{R}\) .

(5p) a) Să se determine b astfel încât rangul matricei sistemului să fie \(2\) .

(5p) b) Să se determine  a şi b pentru care sistemul este incompatibil.             

(5p) c) Să se rezolve sistemul in cazul in care este compatibil nedeterminat .

2. Se consideră mulţimea \(G\) a matricelor \(A(a)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & \ln a \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) , \(a\in (0;\infty )\) .

(5p) a) Să se arate că \((G,\cdot )\) are o structură de grup abelian .

(5p) b) Să se calculeze \(A{{(a)}^{2011}}\) .

(5p) c) Să se demonstreze că grupul \((G,\cdot )\) este izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale strict pozitive.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:(0;\infty )\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{\ln }^{2}}x}{x}\) .

(5p) a) Să se calculeze derivata funcţiei f.

(5p) b) Să se determine imaginea  funcţiei f  .

(5p) c) Să se demonstreze inegalitatea \(e\cdot \ln x\le 2\sqrt{x},\forall x\in (1;\infty )\) .

2. Fie Şirul \({{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}\) definit prin \({{I}_{n}}=\int\limits_{\text{0}}^{\frac{\pi }{\text{4}}}{\text{t}{{\text{g}}^{2n}}t\ \text{d}t}\) , \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) .

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\) .

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{2n+1}\) , pentru orice \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) .

(5p) c) Să se arate că şirul \({{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}\) este convergent la \(0\) .