Prof:  Pisică Lăcrămioara

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați cardinalul mulțimii $A=\left( {{\log }_{\frac{5}{3}}}2,\sqrt[3]{9} \right)\bigcap \mathbb{N}$ .

(5p) 2. Determinați valorile naturale nenule ale lui m pentru care parabola $y={{x}^{2}}+3x+m$ admite un minim pozitiv.

(5p) 3. Determinați soluțiile reale ale ecuației  ${{\log }_{2}}\left( 3\cdot {{2}^{x}}+4 \right)=x+2$

(5p) 4. Ce termen al dezvoltării ${{\left( \frac{1}{x}+\sqrt{x} \right)}^{9}}$ nu-l conține pe x ?

(5p) 5. Să se determine coordonatele capetelor unui segment știind că punctele $M\left( -1,1 \right)$ și $N\left( -3,4 \right)$ împart segmentul în trei părți egale.

(5p) 6. Verificați dacă triunghiul ABC cu AB=6 cm , AC=8 cm și BC=5 cm este obtuzunghic?

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie sistemul $\left\{ \begin{matrix} x+{{m}^{2}}y+2mz=-2 \\ 2mx+y+{{m}^{2}}z=7 \\ {{m}^{2}}x+2my+z=-5 \\ \end{matrix} \right.$ , unde $x,y,z\in \mathbb{R}$ , $m\in \mathbb{R}$ .

(5p) a) Determinați valorile parametrului real m pentru care sistemul este compatibil determinat.

(5p) b) Știind că soluția  sistemului este $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)$  să se demonstreze că ${{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=0$ pentru orice $m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.

(5p) c) Pentru $m=-1$ rezolvați sistemul în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ .

2. Se consideră mulțimea $G=\left( -\frac{3}{2},\infty \right)$ și legea de compoziție $''\circ ''$ pe G definită prin $x\circ y=axy+bx+by+c$ , $a,b,c\in \mathbb{R}$ .

(5p) a) Determinați a , b și c știind că legea $''\circ ''$ admite pe $-1$ ca element neutru iar simetricul lui $\frac{1}{2}$ este $-\frac{11}{8}$

(5p) b) Pentru $a=2$ , $b=c=3$ rezolvați pe mulțimea G ecuația $x\circ x\circ x=x$

(5p) c) Pentru $a=2$ , $b=c=3$ demonstrați că funcția $f:G\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\ln \left( mx+n \right)$ , unde m și n sunt convenabil alese , este izomorfism de la grupul $\left( G,\circ  \right)$ la grupul $\left( \mathbb{R},+ \right)$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\left| 2x-3 \right|+\ln x$

(5p) a) Studiați derivabilitatea funcției pe domeniul de definiție .

(5p) b) Stabiliți eventualele puncte de extrem local ale funcției f .

(5p) c) Determinați tangenta la graficul funcției ce este paralelă cu prima bisectoare .

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)={{x}^{2}}-2x-3$

(5p) a) Calculați $\int\limits_{1}^{16}{f\left( -\sqrt[4]{x} \right)dx}$ .

(5p) b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a subgraficului funcției $g:\left[ 0,3 \right]\to \mathbb{R}$ , $g(x)=\sqrt[4]{-f(x)}$

(5p) c) Fie șirul ${{a}_{n}}=\int\limits_{n}^{n+1}{\frac{f(x+1)}{{{x}^{2}}}dx}$ , $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$. Calculați $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{a}_{n}} \right)}^{{{n}^{2}}}}$