Prof:  Pisică Lăcrămioara

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați cardinalul mulțimii \(A=\left( {{\log }_{\frac{5}{3}}}2,\sqrt[3]{9} \right)\bigcap \mathbb{N}\) .

(5p) 2. Determinați valorile naturale nenule ale lui m pentru care parabola \(y={{x}^{2}}+3x+m\) admite un minim pozitiv.

(5p) 3. Determinați soluțiile reale ale ecuației  \({{\log }_{2}}\left( 3\cdot {{2}^{x}}+4 \right)=x+2\)

(5p) 4. Ce termen al dezvoltării \({{\left( \frac{1}{x}+\sqrt{x} \right)}^{9}}\) nu-l conține pe x ?

(5p) 5. Să se determine coordonatele capetelor unui segment știind că punctele \(M\left( -1,1 \right)\) și \(N\left( -3,4 \right)\) împart segmentul în trei părți egale.

(5p) 6. Verificați dacă triunghiul ABC cu AB=6 cm , AC=8 cm și BC=5 cm este obtuzunghic?

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie sistemul \(\left\{ \begin{matrix} x+{{m}^{2}}y+2mz=-2 \\ 2mx+y+{{m}^{2}}z=7 \\ {{m}^{2}}x+2my+z=-5 \\ \end{matrix} \right.\) , unde \(x,y,z\in \mathbb{R}\) , \(m\in \mathbb{R}\) .

(5p) a) Determinați valorile parametrului real m pentru care sistemul este compatibil determinat.

(5p) b) Știind că soluția  sistemului este \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\)  să se demonstreze că \({{x}_{0}}+{{y}_{0}}+{{z}_{0}}=0\) pentru orice \(m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\).

(5p) c) Pentru \(m=-1\) rezolvați sistemul în \(\mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}\) .

2. Se consideră mulțimea \(G=\left( -\frac{3}{2},\infty \right)\) și legea de compoziție \(''\circ ''\) pe G definită prin \(x\circ y=axy+bx+by+c\) , \(a,b,c\in \mathbb{R}\) .

(5p) a) Determinați a , b și c știind că legea \(''\circ ''\) admite pe \(-1\) ca element neutru iar simetricul lui \(\frac{1}{2}\) este \(-\frac{11}{8}\)

(5p) b) Pentru \(a=2\) , \(b=c=3\) rezolvați pe mulțimea G ecuația \(x\circ x\circ x=x\)

(5p) c) Pentru \(a=2\) , \(b=c=3\) demonstrați că funcția \(f:G\to \mathbb{R}\) , \(f(x)=\ln \left( mx+n \right)\) , unde m și n sunt convenabil alese , este izomorfism de la grupul \(\left( G,\circ  \right)\) la grupul \(\left( \mathbb{R},+ \right)\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R}\) , \(f(x)=\left| 2x-3 \right|+\ln x\)

(5p) a) Studiați derivabilitatea funcției pe domeniul de definiție .

(5p) b) Stabiliți eventualele puncte de extrem local ale funcției f .

(5p) c) Determinați tangenta la graficul funcției ce este paralelă cu prima bisectoare .

2. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \(f(x)={{x}^{2}}-2x-3\)

(5p) a) Calculați \(\int\limits_{1}^{16}{f\left( -\sqrt[4]{x} \right)dx}\) .

(5p) b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a subgraficului funcției \(g:\left[ 0,3 \right]\to \mathbb{R}\) , \(g(x)=\sqrt[4]{-f(x)}\)

(5p) c) Fie șirul \({{a}_{n}}=\int\limits_{n}^{n+1}{\frac{f(x+1)}{{{x}^{2}}}dx}\) , \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\). Calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{a}_{n}} \right)}^{{{n}^{2}}}}\)