Varianta 66

Prof: Pisică Lăcrămioara

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați numerele complexe de modul 5 ce au partea imaginară egală cu \(\left[ {{\log }_{0,5}}5 \right]\), unde \(\left[ a \right]\) reprezintă partea întreagă a numărului a .

(5p) 2. Determinați valorile reale ale lui m astfel încât între rădăcinile ecuației \({{x}^{2}}+mx+m+2=0\) să existe relația \(\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=-1\).

(5p) 3. Rezolvați în mulțimea \(\left[ 0,2\pi  \right)\) ecuația \(\sin \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=\cos x\) .

(5p) 4. Determinați numerele naturale \(n\ge 3\) care verifică relația \(C_{n}^{3}=2C_{n}^{2}\) .

(5p) 5. Aflați aria unui pătrat ce are două dintre laturile sale situate pe dreptele de ecuații \(3x+4y-7=0\)  respectiv \(6x+8y+1=0\).

(5p) 6. Știind că \(tgx=2\) calculați \(\frac{3\sin x}{2\sin x+5\cos x}\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele \(A,X\in {{\mathfrak{M}}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)\) , \(A=\left( \begin{matrix} a & a+2 & a+4 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\)

(5p) a) Arătați că ecuația \(A\cdot X={{O}_{3}}\) are soluție unică pentru orice întreg a .

(5p) b) Pentru \(a=0\) rezolvați ecuația \(A\cdot X={{I}_{3}}\) .

(5p) c) Pentru \(a\in \mathbb{Z}\) arătați că sistemul \(\left\{ \begin{matrix} ax+\left( a+2 \right)y+\left( a+4 \right)z=2a \\ x+3y+4z=1\quad \quad \quad \quad \quad \ \\ 2x+3y+z=1\quad \quad \quad \quad \quad \,\, \\ \end{matrix} \right.\) are soluție unică în \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\) ce un depende de a .

2. Fie mulțimea \(A=\left\{ f\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ X \right]|f={{X}^{4}}+a{{X}^{3}}+b{{X}^{2}}+\widehat{4}\quad ,\quad a,b\in {{\mathbb{Z}}_{5}} \right\}\)

(5p) a) Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un polinom de gradul 4 din \({{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ X \right]\) acesta să fie din mulțimea A .

(5p) b) Determinați \(a,b\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\) știind că \(\widehat{2}\) este rădăcină a polinomului f  și că restul împărțirii lui \(f\left( X+\widehat{1} \right)\) la \(X+\widehat{2}\) este \(\widehat{3}\) .

(5p) c) Pentru \(a=b=\widehat{0}\) descompuneți în factori ireductibili polinomul f peste \({{\mathbb{Z}}_{5}}\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(a\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) și funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}-ax+1}{{{x}^{2}}+1}\) .

(5p) a) Arătați că pentru orice \(a\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) funcția are două puncte de extrem .

(5p) b) Determinați valorile lui \(a\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) astfel încât \(\operatorname{Im}f=\left[ -1,3 \right]\)

(5p) c) Calculați \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( f(x) \right)}^{\frac{1}{f'(x)}}}\) , \(\forall a\in {{\mathbb{R}}^{*}}\) .

2. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \(f(x)={{e}^{{{x}^{2}}}}\)

(5p) a) Calculați \(\int\limits_{0}^{1}{xf(x)dx}\)

(5p) b) Arătați că \(2\sqrt{e}\le \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{e}{f(x)}dx}\le 1+e\)

(5p) c) Calculați  \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f(t)dt}}{f(x)-1}\)