Prof: Pisică Lăcrămioara

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinați primul termen al progresiei aritmetice ce are rația egală cu triplul primului termen , iar ${{a}_{6}}+{{a}_{8}}=19$ .

(5p) 2. Găsiți două funcții de gradul întâi , de monotonii diferite astfel încât $f\circ g=g\circ f$ , $\forall x\in \mathbb{R}$

(5p) 3. Determinați soluțiile întregi nenule ale inecuației ${{\left( {{\log }_{3}}2 \right)}^{{{x}^{2}}-x}}>{{\left( {{\log }_{3}}2 \right)}^{x+3}}$ .

(5p) 4. Determinați câte numere naturale de două cifre sunt divizibile cu 4 sau cu 6 .

(5p) 5. Determinați ecuația mediatoarei segmentului de capete $A\left( 1,2 \right)$ și $B\left( 2,1 \right)$ .

(5p) 6. Fie paralelogramul ABCD. Considerăm punctele M și N pe AB și respectiv AC astfel încât $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ . Arătați că punctele M , N și D sunt coliniare .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. În mulțimea ${{\mathfrak{M}}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)$ se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$ și $B=A-2{{I}_{2}}$ .

(5p) a) Determinați cea mai mică valoare a numărului natural nenul k pentru care ${{B}^{n}}={{O}_{3}},\forall n\ge k$.

(5p) b) Calculați ${{A}^{n}},\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ .

(5p) c) Demonstrați că $7\cdot \sum\limits_{k=1}^{1005}{\det \left( {{A}^{k}} \right)}\le {{3}^{2012}}$

2. Se consideră matrices $A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -3 & -1 \\ \end{matrix} \right)$ și mulțimea $G=\left\{ {{X}_{a}}={{I}_{2}}+aA\ ,\ a>-\frac{1}{2} \right\}$ .

(5p) a) Demonstrați că G este parte stabilă a lui ${{\mathfrak{M}}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)$ în raport cu înmulțirea matricelor.

(5p) b) Demonstrați că funcția $f:G\to \mathbb{R}$ , $f\left( {{X}_{a}} \right)=\ln \left( 2a+1 \right)$ este izomorfism de la grupul $\left( G,\cdot  \right)$ la grupul $\left( \mathbb{R},+ \right)$.

(5p) c) Arătați că ${{X}_{\frac{1}{2}}}\cdot {{X}_{\frac{3}{2}}}\cdot {{X}_{\frac{5}{2}}}\cdot ...\cdot {{X}_{\frac{2n-1}{2}}}={{X}_{\frac{{{2}^{n}}\cdot n!-1}{2}}}$ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=x-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)$

(5p) a)  Studiați monotonia funcției f .

(5p) b)  Arătați că f este inversabilă și calculați $g'\left( 0 \right)$ , unde $g={{f}^{-1}}$

(5p) c)  Rezolvați ecuația $f(x)+f\left( {{x}^{3}} \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)$ .

2. Se consideră șirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$ având termenul general ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{4}}+1}dx}$

(5p) a) Calculați ${{I}_{3}}$ și ${{I}_{1}}$

(5p) b) Arătați că șirul ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$ este convergent și , apoi, calculați limita sa .

(5p) c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{k}}\cdot {{I}_{n}}$ , $k\in \mathbb{R}$