Prof: Pisică Lăcrămioara
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinați primul termen al progresiei aritmetice ce are rația egală cu triplul primului termen , iar a6+a8=19 .
(5p) 2. Găsiți două funcții de gradul întâi , de monotonii diferite astfel încât f∘g=g∘f , ∀x∈R
(5p) 3. Determinați soluțiile întregi nenule ale inecuației (log32)x2−x>(log32)x+3 .
(5p) 4. Determinați câte numere naturale de două cifre sunt divizibile cu 4 sau cu 6 .
(5p) 5. Determinați ecuația mediatoarei segmentului de capete A(1,2) și B(2,1) .
(5p) 6. Fie paralelogramul ABCD. Considerăm punctele M și N pe AB și respectiv AC astfel încât →AM=15→AB și →AN=16→AC . Arătați că punctele M , N și D sunt coliniare .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- În mulțimea M3(R) se consideră matricele A=(213024002) și B=A−2I2 .
(5p) a) Determinați cea mai mică valoare a numărului natural nenul k pentru care Bn=O3,∀n≥k.
(5p) b) Calculați An,∀n∈N∗ .
(5p) c) Demonstrați că 7⋅1005∑k=1det
- Se consideră matrices A=\left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ -3 & -1 \\ \end{matrix} \right) și mulțimea G=\left\{ {{X}_{a}}={{I}_{2}}+aA\ ,\ a>-\frac{1}{2} \right\} .
(5p) a) Demonstrați că G este parte stabilă a lui {{\mathfrak{M}}_{2}}\left( \mathbb{R} \right) în raport cu înmulțirea matricelor.
(5p) b) Demonstrați că funcția f:G\to \mathbb{R} , f\left( {{X}_{a}} \right)=\ln \left( 2a+1 \right) este izomorfism de la grupul \left( G,\cdot \right) la grupul \left( \mathbb{R},+ \right).
(5p) c) Arătați că {{X}_{\frac{1}{2}}}\cdot {{X}_{\frac{3}{2}}}\cdot {{X}_{\frac{5}{2}}}\cdot ...\cdot {{X}_{\frac{2n-1}{2}}}={{X}_{\frac{{{2}^{n}}\cdot n!-1}{2}}} .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Fie funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} , f(x)=x-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)
(5p) a) Studiați monotonia funcției f .
(5p) b) Arătați că f este inversabilă și calculați g'\left( 0 \right) , unde g={{f}^{-1}}
(5p) c) Rezolvați ecuația f(x)+f\left( {{x}^{3}} \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)+f\left( {{x}^{4}} \right) .
- Se consideră șirul {{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}} având termenul general {{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{4}}+1}dx}
(5p) a) Calculați {{I}_{3}} și {{I}_{1}}
(5p) b) Arătați că șirul {{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 1}} este convergent și , apoi, calculați limita sa .
(5p) c) Calculați \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{n}^{k}}\cdot {{I}_{n}} , k\in \mathbb{R}