Varianta 66
Prof: Pisică Lăcrămioara
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Determinați numerele complexe de modul 5 ce au partea imaginară egală cu [log0,55], unde [a] reprezintă partea întreagă a numărului a .
(5p) 2. Determinați valorile reale ale lui m astfel încât între rădăcinile ecuației x2+mx+m+2=0 să existe relația x1x2+x2x1=−1.
(5p) 3. Rezolvați în mulțimea [0,2π) ecuația sin(x+π6)=cosx .
(5p) 4. Determinați numerele naturale n≥3 care verifică relația C3n=2C2n .
(5p) 5. Aflați aria unui pătrat ce are două dintre laturile sale situate pe dreptele de ecuații 3x+4y−7=0 respectiv 6x+8y+1=0.
(5p) 6. Știind că tgx=2 calculați 3sinx2sinx+5cosx .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Fie matricele A,X∈M3(R) , A=(aa+2a+4134231)
(5p) a) Arătați că ecuația A⋅X=O3 are soluție unică pentru orice întreg a .
(5p) b) Pentru a=0 rezolvați ecuația A⋅X=I3 .
(5p) c) Pentru a∈Z arătați că sistemul {ax+(a+2)y+(a+4)z=2ax+3y+4z=1 2x+3y+z=1 are soluție unică în Z×Z×Z ce un depende de a .
- Fie mulțimea A={f∈Z5[X]|f=X4+aX3+bX2+ˆ4,a,b∈Z5}
(5p) a) Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un polinom de gradul 4 din Z5[X] acesta să fie din mulțimea A .
(5p) b) Determinați a,b∈Z5 știind că ˆ2 este rădăcină a polinomului f și că restul împărțirii lui f(X+ˆ1) la X+ˆ2 este ˆ3 .
(5p) c) Pentru a=b=ˆ0 descompuneți în factori ireductibili polinomul f peste Z5 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Fie a∈R∗ și funcția f:R→R , f(x)=x2−ax+1x2+1 .
(5p) a) Arătați că pentru orice a∈R∗ funcția are două puncte de extrem .
(5p) b) Determinați valorile lui a∈R∗ astfel încât Imf=[−1,3]
(5p) c) Calculați limx→∞(f(x))1f′(x) , ∀a∈R∗ .
- Fie funcția f:R→R , f(x)=ex2
(5p) a) Calculați 1∫0xf(x)dx
(5p) b) Arătați că 2√e≤1∫0f(x)dx+1∫0ef(x)dx≤1+e
(5p) c) Calculați limx→0x2∫0f(t)dtf(x)−1