Prof: RAT CRISTINA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sǎ se calculeze modulul numǎrului complex : $z=\frac{1+3i}{2-5i}$

(5p) 2. Rezolvați ȋn mulțimea numerelor reale ecuația : ${{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}+3\cdot {{2}^{x+3}}=1920$

(5p) 3. Fie $f(x)=2{{x}^{2}}+\cos x$ , $f:R\to R$, sǎ se demonstreze cǎ f este funcție parǎ.

(5p) 4. Sǎ se determine termenul de rang 8 al dezvoltǎrii: ${{(\sqrt[3]{x}+\frac{y}{{{x}^{2}}})}^{10}}$

(5p) 5. Fie dreptele ${{d}_{1}}:(m+1)x+4y-5=0$ și ${{d}_{2}}:(2m-3)x-2y+1=0$, sǎ se determine $m\in R$ astfel ca dreptele sǎ fie paralele.

(5p) 6. Sǎ se calculeze raza cercului circumscris triunghiului care are lungimile laturilor 8,11,13.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matricea A$\in \mathop{M}_{3}\left( R \right)$ unde A=$\left( \begin{matrix} \mathop{x}_{1} & \mathop{y}_{1} & \mathop{t}_{1} \\ \mathop{x}_{2} & \mathop{y}_{2} & \mathop{t}_{2} \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$,cu $\mathop{x}_{1}<\mathop{x}_{2}$ radacinile ecuatiei ${{x}^{^{2}}}-3x+2=0$; ${{y}_{1}},{{y}_{2}}$ reprezinta prímele numere naturale consecutive ${{t}_{_{1}}}=C_{3}^{1},{{t}_{2}}=A_{3}^{1}$.

(5p) a) Calculati elementele matricei A.

(5p) b) Calculati matricea ${{A}^{2}}-2A$.

(5p) c) Determinati inversa matricei A.

2. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie $x*y=3xy-3x-3y$+4.

(5p) a) Arǎtați ca intervalul (1,$\infty$) este parte stabila a lui R in raport cu legea data.

(5p) b) Considerand legea asociativǎ sǎ se determine simetricul elementului 3.

(5p) c) Sǎ se rezolve in muțtimea numerelor reale ecuația $x*x*x=73$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dǎ funcția $f:\left[ 3;+\infty \right)\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}-x$.

(5p) a) Sǎ se determine ecuația asimptotei orizontale spre +$\infty$ la graficul funcției f .

(5p) b) Sǎ se demostreze cǎ f este concava pe intervalul $(3;+\infty )$

(5p) c) Sǎ se determine ecuația tangentei la graficul funcției in punctul de abscisa 4.

2. Se considerǎ șirulul ${{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}$ unde ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{2}}+x+1}}dx$.

(5p) a) Sǎ se calculeze ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Sǎ se demonstreze cǎ are loc egalitatea: ${{I}_{n+2}}+{{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},n\in \mathbb{N}*$

(5p) c) Folosind faptul cǎ ${{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}$ este un șir descrescǎtor , sǎ se demonstreze : $\frac{1}{3(n+1)}\le {{I}_{n}}\le \frac{1}{3(n-1)}$.