Prof: RAT CRISTINA

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sǎ se calculeze modulul numǎrului complex : \(z=\frac{1+3i}{2-5i}\)

(5p) 2. Rezolvați ȋn mulțimea numerelor reale ecuația : \({{2}^{x+1}}+{{2}^{x+2}}+3\cdot {{2}^{x+3}}=1920\)

(5p) 3. Fie \(f(x)=2{{x}^{2}}+\cos x\) , \(f:R\to R\), sǎ se demonstreze cǎ f este funcție parǎ.

(5p) 4. Sǎ se determine termenul de rang 8 al dezvoltǎrii: \({{(\sqrt[3]{x}+\frac{y}{{{x}^{2}}})}^{10}}\)

(5p) 5. Fie dreptele \({{d}_{1}}:(m+1)x+4y-5=0\) și \({{d}_{2}}:(2m-3)x-2y+1=0\), sǎ se determine \(m\in R\) astfel ca dreptele sǎ fie paralele.

(5p) 6. Sǎ se calculeze raza cercului circumscris triunghiului care are lungimile laturilor 8,11,13.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Fie matricea A\(\in \mathop{M}_{3}\left( R \right)\) unde A=\(\left( \begin{matrix} \mathop{x}_{1} & \mathop{y}_{1} & \mathop{t}_{1} \\ \mathop{x}_{2} & \mathop{y}_{2} & \mathop{t}_{2} \\ 1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\),cu \(\mathop{x}_{1}<\mathop{x}_{2}\) radacinile ecuatiei \({{x}^{^{2}}}-3x+2=0\); \({{y}_{1}},{{y}_{2}}\) reprezinta prímele numere naturale consecutive \({{t}_{_{1}}}=C_{3}^{1},{{t}_{2}}=A_{3}^{1}\).

(5p) a) Calculati elementele matricei A.

(5p) b) Calculati matricea \({{A}^{2}}-2A\).

(5p) c) Determinati inversa matricei A.

2. Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie \(x*y=3xy-3x-3y\)+4.

(5p) a) Arǎtați ca intervalul (1,\(\infty \)) este parte stabila a lui R in raport cu legea data.

(5p) b) Considerand legea asociativǎ sǎ se determine simetricul elementului 3.

(5p) c) Sǎ se rezolve in muțtimea numerelor reale ecuația \(x*x*x=73\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se dǎ funcția \(f:\left[ 3;+\infty \right)\to \mathbb{R},f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-4x+3}-x\).

(5p) a) Sǎ se determine ecuația asimptotei orizontale spre +\(\infty \) la graficul funcției f .

(5p) b) Sǎ se demostreze cǎ f este concava pe intervalul \((3;+\infty )\)

(5p) c) Sǎ se determine ecuația tangentei la graficul funcției in punctul de abscisa 4.

2. Se considerǎ șirulul \({{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}\) unde \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{{{x}^{2}}+x+1}}dx\).

(5p) a) Sǎ se calculeze \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Sǎ se demonstreze cǎ are loc egalitatea: \({{I}_{n+2}}+{{I}_{n+1}}+{{I}_{n}}=\frac{1}{n+1},n\in \mathbb{N}*\)

(5p) c) Folosind faptul cǎ \({{({{I}_{n}})}_{n\ge 1}}\) este un șir descrescǎtor , sǎ se demonstreze : \(\frac{1}{3(n+1)}\le {{I}_{n}}\le \frac{1}{3(n-1)}\).