Varianta 79
Prof. Stan Adrian
- Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
- Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
- La toate subiectele se cer rezolvări complete.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se arate că numărul a=(2+√3)−2−√(4√3−7)2este intreg.
(5p) 2. Determină x∈R astfel încât următoarele numere x2−6,3x,4x+3 să fie termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.
(5p) 3. Fie f:R→R,f(x)=mx2+(m+3)x−(m+1). Să se determine m∈R astfel încât maximul lui f să fie egal cu 1.
(5p) 4. Să se rezolve în R ecuația 3√x3+3x+5=x+2.
(5p) 5. Să se determine valoarea parametrului real “ a “ pentru care vectorii →v1=(a−2)→i−4→jși →v2=−3→i+(a+2)→j să fie coliniari.
(5p) 6. Se consideră punctele A(−1;2),B(0;1),C(4;3). Să se calculeze distanţa de la punctul C la dreapta AB.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Fie A=(52−10−4),I2=(1001) şi M={X(a)|a∈R,X(a)=I2−a⋅A} .
(5p) a) Să se arate că X(a)⋅X(b)=X(a+b−ab). și să se calculeze X(0)⋅X(1)⋅X(2)⋅...⋅X(2014)
(5p) b) )Să se arate că o singură matrice X(a) este neinversabilă;
(5p) c) Dacă X(a) e inversabilă, să se calculeze (X(a))−1 .
- Se consideră polinoamele f,g∈R[X],f(X)=(X2+X+1)10+(X2+1)10+1 şi g(X)=X2+1.
(5p) a) Să se descompună polinomul g în factori ireductibili în C[X].
(5p) b) Să se arate că f este divizibil cu g ;
(5p) c) Dacă f(X)=a20X20+a19X19+...+a1X+a0,ai∈R, să se determine a19.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţia f:R→R,f(x)=ex2−4x+2.
(5p) a) Să se calculeze f′(x),f′(0).
(5p) b) Să se studieze monotonia lui f şi să se determine punctele de extrem local ale lui f;
(5p) c) Să se arate că 1e≤f(x)≤e2,∀x∈[0;1].
- Fie f:R−{2}→R,f(x)=x3−1x+2.
(5p) a) Să se calculeze 1∫0f(x)dx;
(5p) b) Să se determine volumul corpului de rotație determinat de graficul funcției g:[0;1]→R,g(x)=f(x)x2+x+1.
(5p) c) Să se arate că 0≤2∫1f(x)x2+x+1dx≤14