Varianta 79

Prof. Stan Adrian

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.  Să se arate că numărul a=\({{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{-2}}-\sqrt{{{\left( 4\sqrt{3}-7 \right)}^{2}}}\)este intreg.

(5p) 2. Determină \(x\in \mathbb{R}\) astfel încât următoarele numere \({{x}^{2}}-6,3x,4x+3\)  să fie termenii consecutivi ai  unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Fie \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}{{,}^{{}}}f(x)=m{{x}^{2}}+(m+3)x-(m+1)\). Să se determine \(m\in \mathbb{R}\) astfel încât maximul lui f să fie egal cu 1.

(5p) 4. Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x+2\).

(5p) 5. Să se determine valoarea parametrului real  “ a “ pentru care vectorii \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}=(a-2)\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}\)și \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}=-3\overrightarrow{i}+(a+2)\overrightarrow{j}\) să fie coliniari.

(5p) 6. Se consideră punctele \(A(-1;2),B(0;1),C(4;3)\). Să se calculeze distanţa de la punctul C la dreapta AB.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie \(A=\left( \begin{matrix} 5 & 2 \\ -10 & -4 \\ \end{matrix} \right),{{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) şi \(M=\left\{ X(a)\left| a\in \mathbb{R},X(a)={{I}_{2}}-a\cdot A \right. \right\}\) .

(5p) a) Să se arate că \(X(a)\cdot X(b)=X(a+b-ab)\). și să se calculeze \(X(0)\cdot X(1)\cdot X(2)\cdot ...\cdot X(2014)\)

(5p) b) )Să se arate că o singură matrice X(a) este neinversabilă;

(5p) c) Dacă X(a) e inversabilă, să se calculeze (X(a))\(^{-1}\) .

2. Se consideră polinoamele \(f,g\in \mathbb{R}[X]{{,}^{{}}}f(X)={{({{X}^{2}}+X+1)}^{10}}+{{({{X}^{2}}+1)}^{10}}+1\) şi \(g(X)={{X}^{2}}+1.\)

(5p) a) Să se descompună polinomul g în factori ireductibili în \(\mathbb{C}[X].\)

(5p) b) Să se arate că f este divizibil cu g ;

(5p) c) Dacă \(f(X)={{a}_{20}}{{X}^{20}}+{{a}_{19}}{{X}^{19}}+...+{{a}_{1}}X+{{a}_{0}}{{,}^{{}}}{{a}_{i}}\in \mathbb{R},\) să se determine \({{a}_{19}}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{e}^{{{x}^{2}}-4x+2}}.\)

(5p) a) Să se calculeze \(f'(x),f'(0).\)

(5p) b) Să se studieze  monotonia lui f şi să se determine punctele de extrem local ale lui f;

(5p) c) Să se arate că \(\frac{1}{e}\le f(x)\le {{e}^{2}},\forall x\in \left[ 0;1 \right].\)

2. Fie \(f:\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}\to \mathbb{R}{{,}^{{}}}f(x)=\frac{{{x}^{3}}-1}{x+2}.\)

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}\);

(5p) b) Să se determine volumul corpului de rotație determinat de graficul funcției \(g:\left[ 0;1 \right]\to \mathbb{R}{{,}^{{}}}g(x)=\frac{f(x)}{{{x}^{2}}+x+1}.\)

(5p) c) Să se arate că \(0\le \int\limits_{1}^{2}{\frac{f(x)}{{{x}^{2}}+x+1}dx}\le \frac{1}{4}\)