FaceBook  Twitter  

Varianta 79

Prof. Stan Adrian

 

  • Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
  • Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
  • La toate subiectele se cer rezolvări complete.

 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.  Să se arate că numărul a=(2+3)2(437)2este intreg.

(5p) 2. Determină xR astfel încât următoarele numere x26,3x,4x+3  să fie termenii consecutivi ai  unei progresii aritmetice.

(5p) 3. Fie f:RR,f(x)=mx2+(m+3)x(m+1). Să se determine mR astfel încât maximul lui f să fie egal cu 1.

(5p) 4. Să se rezolve în R ecuația 3x3+3x+5=x+2.

(5p) 5. Să se determine valoarea parametrului real  “ a “ pentru care vectorii v1=(a2)i4jși v2=3i+(a+2)j să fie coliniari.

(5p) 6. Se consideră punctele A(1;2),B(0;1),C(4;3). Să se calculeze distanţa de la punctul C la dreapta AB.

 

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

  1. Fie A=(52104),I2=(1001) şi M={X(a)|aR,X(a)=I2aA} .

(5p) a) Să se arate că X(a)X(b)=X(a+bab). și să se calculeze X(0)X(1)X(2)...X(2014)

(5p) b) )Să se arate că o singură matrice X(a) este neinversabilă;

(5p) c) Dacă X(a) e inversabilă, să se calculeze (X(a))1 .

  1. Se consideră polinoamele f,gR[X],f(X)=(X2+X+1)10+(X2+1)10+1 şi g(X)=X2+1.

(5p) a) Să se descompună polinomul g în factori ireductibili în C[X].

(5p) b) Să se arate că f este divizibil cu g ;

(5p) c) Dacă f(X)=a20X20+a19X19+...+a1X+a0,aiR, să se determine a19.

 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

  1. Se consideră funcţia f:RR,f(x)=ex24x+2.

(5p) a) Să se calculeze f(x),f(0).

(5p) b) Să se studieze  monotonia lui f şi să se determine punctele de extrem local ale lui f;

(5p) c) Să se arate că 1ef(x)e2,x[0;1].

  1. Fie f:R{2}R,f(x)=x31x+2.

(5p) a) Să se calculeze 10f(x)dx;

(5p) b) Să se determine volumul corpului de rotație determinat de graficul funcției g:[0;1]R,g(x)=f(x)x2+x+1.

(5p) c) Să se arate că 021f(x)x2+x+1dx14