Varianta 81

Prof. Stoica Alina Codruţa

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Sa se rezolve in R ecuatia  \({{2}^{{{x}^{2}}+5}}={{4}^{x+2}}\) .

(5p) 2. Să se găsească o relaţie independentă de m  între rădăcinile ecuaţiei \({{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+2m=0\).

(5p) 3. Rezolvaţi ecuaţia \(\sqrt{{{x}^{2}}-3}-x=-1\).

(5p) 4. Care este probabilitatea ca alegând un număr din mulţimea \(A=\left\{ x\in \mathbb{N}/\frac{15}{2x-1}\in \mathbb{N} \right\}\)  acesta să fie divizibil cu 3.

 (5p) 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele M(2,-1), N(-1,1) şi P(1,3). Gǎsiţi ecuaţia dreptei care trece prin P şi este paralelă cu mediatoarea lui MN.

(5p) 6. Ştiind cǎ \(x\in \left( \pi ;\frac{3\pi }{2} \right)\) şi \(\cos x=-\frac{2\sqrt{6}}{5}\) calculaţi \(\sin x\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul \(\left\{ \begin{matrix} x+y+z=2 \\ 2x-y-2z=-2 \\ x+4y+mz=8 \\ \end{matrix} \right.,m\in \mathbb{R}\) .

(5p) a) Să se calculeze determinantul matricei sistemului;

(5p) b) Să se rezolve sistemul în cazul în care m=5;

(5p) c) Să se arate că pentru \(\forall m\in \mathbb{R}\) sistemul este compatibil.

2. Pe \(\mathbb{R}\)definim legea de compoziţie internǎ \(x\circ y=2xy-6x-6y+21\) , \(x,y\in \mathbb{R}\) .

(5p) a) Sǎ se verifice cǎ \(x\circ y=2\left( x-3 \right)\left( y-3 \right)+{{3,}^{{}}}\forall x,y\in \mathbb{R}\)

(5p) b) Sǎ se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuaţia \(x\circ x=11\)

(5p) c) Ştiind cǎ legea \(''\circ ''\) este asociativǎ , calculaţi \(1\circ \sqrt{2}\circ \sqrt{3}\circ ...\circ \sqrt{2014}\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia \(f:\left( 0;\infty \right)\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\frac{\ln x}{x}\)

(5p) a) Gǎsiţi asimptotele la graficul funcţiei \(f\) ;

(5p) b) Gǎsiţi punctele de extrem local ale graficului  funcţiei \(f\) ;

(5p) c) Sǎ se arate cǎ \({{e}^{\pi }}>{{\pi }^{e}}\)

2. Fie \({{I}_{n}}=\int{{{x}^{n}}\sin {{x}^{{}}}}dx\) , \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{1}}\) ;

(5p) b) Să se determine o relaţie de recurenţă pentru\({{I}_{n}}\) ;

 (5p) c) Să se demonstreze că dacă \(x\in \left( 0;\frac{\pi }{4} \right)\) ,  atunci \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{I}_{n}}=0\) .