Varianta 84

Prof. Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze partea reală a numărului complex \(\frac{2+3i}{1+i}\).

(5p) 2. Să se determine valoarea maximă a funcției \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=-{{x}^{2}}+3x+1\).

(5p) 3. Să se determine partea întreagă a numărului \(\log_3534\).

(5p) 4. Să se determine probabilitatea ca, alegând un număr \(\overline{ab}\) din mulțimea numerelor naturale de două cifre, să avem \(a-b=2\).

(5p) 5. Să se determine \(a\), \(b\in \mathbb{R}\) astfel încât punctele \(A\left( -1,2 \right)\) și \(B(0,3)\)să aparțină dreptei de ecuație \(y=ax+b\).

(5p) 6. Să se calculeze \({{\cos }^{2}}(2013\pi )+\sin (2014\pi )\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră permutările \(\sigma =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ \end{matrix} \right)\in {{S}_{4}}\) și \(\tau =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{S}_{4}}\).

(5p) a) Să se verifice că permutarea \(\sigma\) este pară.

(5p) b) Să se determine numărul elementelor mulțimii \(A=\left\{ {{\tau }^{n}}\mid n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right\}\).

(5p) c) Să se determine \(x\in {{S}_{4}}\) pentru care \(x\sigma =\tau \).

2. Fie mulțimea \(H=\left\{ \left. \left( \begin{matrix} a & 3b \\ b & a \\ \end{matrix} \right)\, \right|\ a,\,b\in \mathbb{Q},\,{{a}^{2}}-3{{b}^{2}}=1 \right\}\subset {{\mathcal{M}}_{2}}(\mathbb{Q})\).

(5p) a) Să se verifice că \(A=\left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)\in H\).

(5p) b) Să se demonstreze că \(H\)este parte stabilă a mulțimii \(\mathscr{M}_2(\mathbb{Q})\) în raport cu înmulțirea matricelor.

(5p) c) Să se arate că \((H,\cdot )\) este grup abelian.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+x+2}}\).

(5p) a) Să se calculeze \(f'(x)\) pentru orice \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Stabiliți intervalele de monotonie ale funcției \(f\).

(5p) c) Să se determine mulțimea valorilor funcției \(f\).

2. Se consideră funcția bijectivă \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\frac{-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-10x+27}{{{x}^{2}}+9}\).

(5p) a) Să se verifice că \(f(x)=-x+3-\frac{x}{{{x}^{2}}+9}\), pentru orice \(x\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{1}^{9}{{{\left( x-3+f(x) \right)}^{2}}\text{d}x}\).

(5p) c) Să se calculeze \(\int\limits_{\frac{19}{10}}^{3}{{{f}^{-1}}(x)\text{d}x}\).