Varianta 86

Prof. Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie ${{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$ o progresie geometrică în care ${{b}_{2}}=\sqrt{27}$ și ${{b}_{4}}=\sqrt{243}$. Calculați ${{b}_{10}}$.

(5p) 2. Să se arate că funcția $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)={{2}^{{{x}^{2}}-4x+3}}$ nu este injectivă.

(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația ${{3}^{x}}-{{3}^{x+1}}+2\cdot {{3}^{x+2}}=32$.

(5p) 4. Să se determine numărul de funcții $f:\left\{ 1,2,3 \right\}\to \left\{ 4,5 \right\}$pentru care $f(1)\le f(2)$.

(5p) 5. În sistemul cartezian de axe $xOy$ se consider punctele $A(2,3)$, $B(-1,4)$ și $C(1,-2)$. Să se scrie ecuația dreptei care trece prin punctul $C$ și este paralelă cu $\overrightarrow{AB}$.

(5p) 6. Să se rezolve în intervalul $\left[ 0,3\pi  \right]$ ecuația $tg(x+\pi )=tg\left( \frac{\pi }{2}-x \right)$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuații $\left\{ \begin{align} & x+y+z=0 \\ & ax+y+z=a-1 \\ & x+y+bz=-1 \\ \end{align} \right.$, cu $a$,$b\in \mathbb{R}$ și notăm cu $A$ matricea corespunzătoare sistemului.

(5p) a) Să se arate că $\det (A)=(1-a)(b-1)$.

(5p) b) Să se rezolve sistemul de ecuații pentru $a=0$ și $b=2$.

(5p) c) Arătați că, dacă $b=1$, atunci sistemul de ecuații este incompatibil.

2. Se consideră polinomul $f=8{{X}^{4}}+2{{X}^{3}}-13{{X}^{2}}+7X-1$cu rădăcinile ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}\in \mathbb{C}$.

(5p) a) Să se arate că polinomul $f$se divide cu ${{X}^{2}}+X-1$.

(5p) b) Să se calculeze $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}$.

(5p) c) Să se arate că polinomul $f$ nu are nicio rădăcină întreagă.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră șirul ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}$, unde ${{a}_{1}}=\frac{1}{2}$ și ${{a}_{n+1}}=\frac{a_{n}^{3}+{{a}_{n}}}{2}$, $(\forall )\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) a) Să se arate că ${{a}_{n}}\in (0,1)$, $(\forall )\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$.

(5p) b) Să se arate că șirul ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}$ este convergent.

(5p) c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+2}}}{{{a}_{n}}}$.

2. Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left\{ \begin{align} & (x+1){{\text{e}}^{x}},\quad x\le 0 \\ & \cos x,\quad \quad \,x>0 \\ \end{align} \right.$.

(5p) a) Să se arate că funcția $f$ admite primitive pe $\mathbb{R}$.

(5p) b) Să se determine o primitivă $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a funcției $f$.

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției $g:\left[ \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2} \right]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$ în jurul axei $Ox$.