Varianta 86

Prof. Szép Gyuszi

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Fie \({{\left( {{b}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\) o progresie geometrică în care \({{b}_{2}}=\sqrt{27}\) și \({{b}_{4}}=\sqrt{243}\). Calculați \({{b}_{10}}\).

(5p) 2. Să se arate că funcția \(f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )\), \(f(x)={{2}^{{{x}^{2}}-4x+3}}\) nu este injectivă.

(5p) 3. Să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația \({{3}^{x}}-{{3}^{x+1}}+2\cdot {{3}^{x+2}}=32\).

(5p) 4. Să se determine numărul de funcții \(f:\left\{ 1,2,3 \right\}\to \left\{ 4,5 \right\}\)pentru care \(f(1)\le f(2)\).

(5p) 5. În sistemul cartezian de axe \(xOy\) se consider punctele \(A(2,3)\), \(B(-1,4)\) și \(C(1,-2)\). Să se scrie ecuația dreptei care trece prin punctul \(C\) și este paralelă cu \(\overrightarrow{AB}\).

(5p) 6. Să se rezolve în intervalul \(\left[ 0,3\pi  \right]\) ecuația \(tg(x+\pi )=tg\left( \frac{\pi }{2}-x \right)\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuații \(\left\{ \begin{align} & x+y+z=0 \\ & ax+y+z=a-1 \\ & x+y+bz=-1 \\ \end{align} \right.\), cu \(a\),\(b\in \mathbb{R}\) și notăm cu \(A\) matricea corespunzătoare sistemului.

(5p) a) Să se arate că \(\det (A)=(1-a)(b-1)\).

(5p) b) Să se rezolve sistemul de ecuații pentru \(a=0\) și \(b=2\).

(5p) c) Arătați că, dacă \(b=1\), atunci sistemul de ecuații este incompatibil.

2. Se consideră polinomul \(f=8{{X}^{4}}+2{{X}^{3}}-13{{X}^{2}}+7X-1\)cu rădăcinile \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\), \({{x}_{3}}\), \({{x}_{4}}\in \mathbb{C}\).

(5p) a) Să se arate că polinomul \(f\)se divide cu \({{X}^{2}}+X-1\).

(5p) b) Să se calculeze \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}\).

(5p) c) Să se arate că polinomul \(f\) nu are nicio rădăcină întreagă.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră șirul \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}\), unde \({{a}_{1}}=\frac{1}{2}\) și \({{a}_{n+1}}=\frac{a_{n}^{3}+{{a}_{n}}}{2}\), \((\forall )\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) a) Să se arate că \({{a}_{n}}\in (0,1)\), \((\forall )\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) b) Să se arate că șirul \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}\) este convergent.

(5p) c) Calculați \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+2}}}{{{a}_{n}}}\).

2. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\left\{ \begin{align} & (x+1){{\text{e}}^{x}},\quad x\le 0 \\ & \cos x,\quad \quad \,x>0 \\ \end{align} \right.\).

(5p) a) Să se arate că funcția \(f\) admite primitive pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Să se determine o primitivă \(F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) a funcției \(f\).

(5p) c) Să se calculeze volumul corpului obținut prin rotirea graficului funcției \(g:\left[ \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2} \right]\to \mathbb{R}\), \(g(x)=f(x)\) în jurul axei \(Ox\).