Varianta 12

Prof: Bășcău Cornelia

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete. 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

 (5p) 1. Să se afle numarul real x, știind ca  x - 3, x si  x + 1 sunt termrnii consecutivi ai unei progresii geometrice.

(5p) 2. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: $\sqrt[3]{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1}+\sqrt[4]{{{x}^{2}}-6x+9}=x+1$.

(5p) 3. Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=3x-2$  .  Să se rezolve ecuația $\left( f\circ f \right)(x)-f(x)=0$ .

(5p) 4. Să se determine numărul de drepte care trec prin 10 puncte distincte, necoliniare.

(5p) 5. Aflați ecuația mediatoarei segmentului [AB], unde A(2,3) și B(3,5).

(5p) 6. Comparați numerele cos4 și cos5.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considera matricele $A(n)=\left( \begin{matrix} {{e}^{\ln n}} & \ln e \\ \ln 1 & \ln e \\ \end{matrix} \right),n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.$

(5p) a) Aflați urma matricei A(3)A(4).

(5p) b) Calculați $\det \left( {{A}^{3}}(3) \right)$.

(5p) c) Calculați ${{A}^{2014}}(1)$.

2. Fie polinoamele $f,g\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ x \right],f(x)={{x}^{4}}+a,g(x)={{x}^{2}}+\hat{3}x+\hat{2},a\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ x \right]$.

(5p) a) Aflați rădăcinile polinomului g.

(5p) b) Determinați $a\in {{\mathbb{Z}}_{5}}\left[ x \right]$  astfel încât polinomul g să dividă polinomul f.

(5p) c) Pentru $a=\hat{1}$ arătați că polinomul  f  nu are rădăcini. 

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia $f:\mathbb{R}\setminus \left\{ 3 \right\}\to \mathbb{R},~f\left( x \right)=\frac{x+3}{x-3}$

(5p) a) Calculați $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}$.

(5p) b) Calculați $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( f(x) \right)}^{x}}$

(5p) c) Studiati existenta soluțiilor ecuației  f (x)=m, unde $m\in \mathbb{R}$.

2. Se consideră integralele ${{I}_{n}}=\int_{e}^{{{e}^{2}}}{{{e}^{\ln {{x}^{n}}}}\ln xdx},n\in \mathbb{N}$

(5p) a) Calculați ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Calculați ${{I}_{n}},\forall n\in \mathbb{N}$.

(5p) c) Verificați egalitatea: $5{{e}^{2}}{{I}_{0}}+20{{e}^{2}}{{I}_{1}}-6{{e}^{3}}=27{{I}_{2}}$

 CLICK PE BAREM