Varianta 47

Prof. Nicolaescu Nicolae

• Toate subiectele (I, II, III) sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.
• Timpul efectiv de lucru este de 3 ore.
• La toate subiectele se cer rezolvări complete.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${{\log }_{2}}\left( x+2 \right)+{{\log }_{2}}x=3$.

(5p) 2. Într-o progresie geometrică al cincilea termen este egal cu 48, iar al treilea termen este egal cu 12.Calculați al nouălea termen al progresiei geometrice.

(5p) 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{2-x}=x$.

(5p) 4. Determinați partea imaginară a numărului $\frac{{{i}^{2014}}}{i+1}$.

(5p) 5. Calculați $tg\frac{11\pi }{4}$.

(5p) 6. Fie dreptunghiul ABCD cu AB=8, BC=6, iar O este punctul de intersecție al diagonalelor. Calculați lungimea vectorului $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{DC}$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele $A=\left( \begin{matrix}   2 & 3  \\   1 & -1  \\\end{matrix} \right)\,,\,\,B=\left( \begin{matrix}  2 & -1  \\   1 & -1  \\\end{matrix} \right)\ ,\,C=\left( \begin{matrix}   1  \\   2  \\\end{matrix} \right)$în ${{M}_{2}}\left( R \right)$.

(5p) a) Rezolvați ecuația $\det \left( A+x{{I}_{2}} \right)=-3$.

(5p) b) Rezolvați în ${{M}_{2,1}}\left( R \right)$ ecuația $A\cdot X=C$.

(5p) c) Arătați că matricea A-xB este inversabilă pentru orice x număr natural par.

2. Se consideră polinomul $f=m{{X}^{3}}+\widehat{2}{{X}^{2}}+\widehat{3}X+\widehat{1}\in {{Z}_{7}}\left[ X \right]$.

(5p) a) Determinați $m\in {{Z}_{7}}$astfel încât produsul rădăcinilor polinomului f să fie egal cu $\widehat{3}$.

(5p) b) Pentru $m=\widehat{1}$calculați $f\left( \widehat{1} \right)$.

(5p) c) Pentru $m=\widehat{1}$ determinați câtul și restul împărțirii polinomului f  la polinomul $g=X+\widehat{6}$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie $f:R\to R,\,f(x)={{e}^{x}}+2014x.$

(5p) a) Arătați că f este convexă pe R.

(5p) b) Determinați asimptota la graficul funcției către -$\infty$.

(5p) c) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției în punctul A(0,1).

2. Se consideră integralele ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x+1 \right)}^{n}}}arctgxdx,\ n\in N.$

(5p) a) Calculați ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Arătați că $\frac{\pi }{4}-\ln 2\le {{I}_{n}}\le {{2}^{n}}\frac{\pi }{4},\ n\in N$.

(5p) c) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul $g:[0,\frac{1}{2}]\to R,\ g(x)=arctg2x$,axa Ox  și dreptele de ecuație x=0 și $x=\frac{1}{2}$.