Varianta 4

Prof: Andone Emanuel

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie aritmetică ( an )n³1  se cunosc a1 = 7 şi r = 3 . Calculaţi suma primilor 10 termeni     ai progresiei.

(5p) 2. Demonstraţi că ecuaţia x²-(2m-1)x-m=0 are rădăcini reale distincte,oricare ar fi m număr real.

(5p) 3. Determinaţi punctele de intersecţie ale graficului funcţiei \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), f(x)=5^x-2-1 cu axele Ox şi Oy

(5p) 4. Calculaţi: \(A_{4}^{2}-3{{P}_{3}}\)

(5p) 5. Se consideră vectorii \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}=2\overrightarrow{i}+a\overrightarrow{j}\)şi \(\overrightarrow{{{v}_{2}}}=(5+a)\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\), unde a Π . Determinaţi numărul a pentru care  vectorii v₁ şi v₂  sunt perpendiculari.

(5p) 6. Aria triunghiului ABC este egală cu \(32\sqrt{3}\). Dacă AB=16 şi AC=8, calculaţi cosA .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricea A = \(\left( \begin{matrix}0 & a & -a \\-3 & 4 & -3a \\-a & a & 0 \\ \end{matrix} \right),a\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Determinaţi  pentru care matricea A este inversabilă

(5p) b) Pentru a=2, calculaţi  transpusa matricei A²

(5p) c) Determinaţi  pentru care are loc relaţia A²-3A+2I₃=0₃

6. Definim pe mulţimea numerelor reale următoarea lege de compoziţie:

x*y= xy+ax-by, a şi b numere reale

(5p) a) Demonstraţi că numărul a*(-b)-ab este un pătrat perfect,oricare ar fi numerele a şi b

(5p) b) Determnaţi a şi b numere reale astfel încât \((\mathbb{R},*)\) fie monoid

(5p) c) Pentru fiecare din monoizii astfel obţinuţi să se determine elementele inversabile.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f(x)=\frac{x-1}{{{e}^{x}}}\)

(5p) a) Rezolvaţi ecuaţia f(x)+f’(x)=1

(5p) b) Precizaţi intervalele de monotonie ale funcţiei

(5p) c) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei în punctul de abscisă 0.

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) , \(f(x)=\frac{{{(x-1)}^{3}}}{{{x}^{2}}+x+1}\)

(5p) a) Determinaţi primitivele funcţiei \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), g(x)=(x²+x+1)f(x)

(5p) b) Scrieţi funcţia f sub forma x+a+\(\frac{bx+c}{{{x}^{2}}+x+1}\) , a,b,c

(5p) c) Calculaţi \(\int{[x-4+\frac{3(2x+1)}{{{x}^{2}}+x+1}]}dx\)