Varianta 6

Prof: ANDONE EMANUEL

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Determinaţi partea întreagă a numărului \(10\sqrt{3}\)

(5p) 2. Stabiliţi domeniul de definiţie al funcţiei f(x)=\({{\log }_{\frac{1}{2}}}({{x}^{2}}-3x+2)\)

(5p) 3. Rezolvaţi în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \(\sqrt{x+1}\)=x+1

(5p) 4. Determinaţi numărul submulţimilor ordonate cu 2 elemente, ale mulţimii {2,4,6,8}

(5p) 5. Determinaţi ecuaţia dreptei de pantă 5, care trece prin punctul A(2,1)

(5p) 6. In triunghiul ABC se cunosc laturile AB=6, AC=14, BC=10.Calculaţi cosinusul unghiului cel mai mare.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.Considerăm sistemul: \(\left\{ \begin{align} & ax+y+z=1 \\ & x+ay+z=2 \\ & x+y+az=3 \\ \end{align} \right.\,\,\,,a\in \mathbb{R}\)

(5p) a) Calculaţi determinantul matricei sistemului

(5p) b) Determinaţi a, număr întreg ştiind că sistemul admite soluţia (2,1,0)

(5p) c) Rezolvaţi sistemul a=4      

2. Se dau polinoamele P(x)=(x⁴+1)(x²+1)(x-1)(x+1)+10 şi Q(x)= (x-1)(x+1)+10

(5p) a) Arătaţi că P(2)=P(-2) şi Q(a),oricare ar fi a număr real

(5p) b) Aflaţi câtul şi restul împărţirii polinomului P la polinomul Q

(5p) c) Descompuneţi polinomul Q în C(x)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), \(f(x)=\left\{ \begin{align} & \sqrt{{{a}^{2}}{{x}^{2}}+ax+1},x\le 1 \\ & \sqrt{x-1}+\left| a \right|\sqrt{x},x>1 \\ \end{align} \right.\)

(5p) a) Determinaţi valorile lui a pentru care f este continuă în punctul x₀=1

(5p) b) Studiaţi derivabilitatea funcţiei f în punctul x₀=1

(5p) c) Pentru a=-1 calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop \lim }\,\frac{f(x)}{\sqrt{x+2}}\)

2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+6x+10}\)

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{(x+3)f(x)dx}\)

(5p) b) Calculaţi \(\int\limits_{0}^{1}{f'(x)f''(x)dx}\)

(5p) c) Calculaţi aria suprafeţei mărginite de graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele x=1, x=2