Prof: Badea Ion

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se arate că \({{\log }_{2}}\left( 5-\sqrt{3} \right)+{{\log }_{2}}\left( 5+\sqrt{3} \right)-{{\log }_{2}}11=1\).

(5p) 2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=2x-1.\)Calculaţi suma \(S=f\left( 1 \right)+f\left( 2 \right)+f\left( 3 \right)+...+f\left( 2012 \right).\)

(5p) 3. Rezolvaţi în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \({{2}^{{{x}^{2}}+x+0,5}}-4\sqrt{2}=0\).

(5p) 4. Determinaţi valorile naturale ale lui x astfel încât \(C_{10}^{x}\le C_{10}^{x-2}\).

(5p) 5. Dacă \({{\text{A}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}\left( 1,-1 \right),{{\text{B}}^{\text{ }\!\!'\!\!\text{ }}}\left( 3,1 \right)\text{ i O}\left( \text{0}\text{,0} \right)\)sunt mijloacele laturilor BC, AC şi respectiv AB ale \(\Delta \text{ABC}\), determinaţi coordonatele punctelor A, B, C.

(5p) 6. Calculaţi \(\cos \alpha \)ştiind că \(\alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\pi  \right)\text{ i }\sin \alpha =\frac{12}{13}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie matricele \(A\left( x \right)=\left( \begin{matrix} x & -1 & 1 \\ 1 & x & -1 \\ -1 & 1 & x \\ \end{matrix} \right);x\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Determinaţi x astfel încât \(A\left( x \right)\)inversabilă;

(5p) b) Aflaţi \({{A}^{-1}}\left( 1 \right)\);

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia \(A\left( 1 \right)\cdot \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)\).

2. Fie inelul claselor de resturi modulo 6, \(\left( {{\mathbb{Z}}_{6}},+,\cdot \right).\)

(5p) a) Calculaţi suma elementelor neinversabile din \({{\mathbb{Z}}_{6}}\);

(5p) b) Determinaţi valorile lui \(x\in {{\mathbb{Z}}_{6}}\)astfel încât determinantul matricei \(A=\left( \begin{matrix} x & \widehat{1} \\ \widehat{2} & \widehat{3} \\ \end{matrix} \right)\)să fie element inversabil în \({{\mathbb{Z}}_{6}}\);

(5p) c) Rezolvaţi în \({{\mathbb{Z}}_{6}}\text{x }{{\mathbb{Z}}_{6}}\)sistemul \(\left\{ \begin{align} & \widehat{2}x+y=\widehat{4} \\ & \widehat{3}x+\widehat{2}y=\widehat{1} \\ \end{align} \right.\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)\).

(5p) a) Scrieţi ecuaţia asimptotei spre \(-\infty \);

(5p) b) Aflaţi punctele de extrem ale funcţiei;

(5p) c) Demonstraţi că \(7\le f\left( x \right)\le 3e,\text{ }\left( \forall  \right)x\in \left[ 0,2 \right]\).

2. Fie \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & \sin x;\text{ }x<0 \\ & \frac{x}{x+2}\text{; }x\ge 0 \\ \end{align} \right.\).

(5p) a) Calculaţi \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\);

(5p) b) Aflaţi volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei absciselor, a graficului funcţiei \(g:\left[ -\pi ,0 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=f\left( x \right)\);

(5p) c) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\int\limits_{0}^{x}{f\left( t \right)dt}\).