Prof: Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinaţi $x\in \mathbb{Z}$pentru care $\left| \frac{x+3}{2} \right|\le 1$.

(5p) 2. Determinaţi funcţia de gradul al doilea al cărei grafic conţine punctul $A\left( 0,0 \right)$ iar vârful parabolei este punctul$V\left( 2,-4 \right)$.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia  $\sqrt{2x+5}=x+3$.

(5p) 4. Calculaţi $3C_{4}^{2}+5A_{5}^{2}$.

(5p) 5. Se consideră vectorii $\overrightarrow{{{v}_{1}}}=3\overrightarrow{i}+a\overrightarrow{j}$ şi $\overrightarrow{{{v}_{2}}}=\left( a-1 \right)\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}$, unde $a\in \mathbb{R}$. Determinaţi numărul $a>0$pentru care vectorii $\overrightarrow{{{v}_{1}}}$şi $\overrightarrow{{{v}_{2}}}$sunt coliniari.

(5p) 6. Calculaţi cosinusul unghiului B al triunghiului ABC, ştiind că  $AB=8$,$BC=12$,$AC=10$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -4 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{3}}\left( R \right)$.

(5p) a) Să se afle numărul $\det \left( A-2{{I}_{3}} \right)$.

(5p) b) Să se determine rangul matricei $A$.

(5p) c) Rezolvaţi ecuaţia $A\cdot X={{I}_{3}},\text{ }X\in {{M}_{3}}\left( \mathbb{R} \right)$.

2. Se consideră legea de compoziţie „$*$” definită prin $x*y=x+y-6,\text{ }\forall x,y\in \mathbb{R}$.

(5p) a) Să se arate că $e=6$este elementul neutru al legii de compoziţie „$*$” pe mulţimea $\mathbb{R}$.

(5p) b) Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuaţia $\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)*\left( 2{{x}^{2}}-x+6 \right)\ge 0$.

(5p) c) Să se demonstreze că  $\frac{1}{2}*\frac{1}{{{2}^{2}}}*\cdots \cdots \cdots *\frac{1}{{{2}^{7}}}<0$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},$ $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} \frac{x-2}{x-3},\text{ }x\le 0 \\ \frac{x+2}{x+3},\text{ }x>0 \\ \end{matrix} \right.$

(5p) a) Verificaţi dacă funcţia este continuă în punctul ${{x}_{0}}=0$.

(5p) b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei $f$ .

(5p) c) Arătaţi că $f\left( x \right)\in \left[ \frac{2}{3},1 \right)$, oricare ar fi $x\in \mathbb{R}$.

2. Se consideră funcţiile, ${{f}_{n}}:\mathbb{R}\to \mathbb{R},{{f}_{n}}(x)=4{{n}^{2}}{{x}^{2}}+8nx+16,\text{unde }n\in \mathbb{N}$

(5p) a) Determinaţi mulţimea primitivelor funcţiei ${{f}_{1}}$.

(5p) b) Calculaţi aria suprafeţei cuprinse între graficul funcţiei ${{f}_{1}}$, axa $Ox$şi dreptele de ecuaţii $x=0$şi $x=1$.

(5p) c) Calculaţi $\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{f}_{2}}\left( x \right)-16}{x}\cdot {{e}^{x}}dx}$.$$