Prof: Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie geometrică \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\)cu rația pozitivă se cunosc \({{a}_{3}}=18\)şi \({{a}_{5}}=162\). Calculaţi suma primilor 6 termeni ai progresiei.

(5p) 2. Determinaţi numărul real \(m\)pentru care ecuaţia \(m{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0\)are soluţii reale egale.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(\mathop{\log }_{2}\left( x+3 \right)+\mathop{\log }_{2}\left( 2x-1 \right)=2\).

(5p) 4. Se consideră toate numerele naturale de câte trei cifre scrise cu elementele din mulţimea \(\left\{ 1,2 \right\}\). Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un astfel de număr, acesta să fie divizibil cu 4.

(5p) 5. Să se găsească ecuaţia mediatoarei segmentului determinat de punctele \(A\left( 2,-4 \right)\)şi \(B\left( -1,5 \right)\)

(5p) 6. Să se calculeze aria triunghiului \(ABC\)ştiind că \(AB=6,\text{ }BC=7,\text{ }AC=11\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\), \(A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \\ \end{matrix} \right)\)şi \(X\left( a \right)={{I}_{2}}+aA\), unde \(a\in \mathbb{Z}\).

(5p) a) Calculaţi \({{A}^{2}}-2A\).

(5p) b) Demonstraţi că \(X\left( a \right)\cdot X\left( b \right)=X\left( a+b+4ab \right),\text{ }\forall a,b\in \mathbb{Z}\).

(5p) c) Arătaţi că \(X\left( a \right)\)este matrice inversabilă, \(\forall a\in \mathbb{Z}\).

2. Se consideră polinomul \(f={{X}^{3}}+\left( m-2 \right){{X}^{2}}-15X+\left( m+1 \right)\).

(5p) a) Pentru \(m=3\)determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului \(f\)la \(X-2\).

(5p) b) Determinaţi \(m\in \mathbb{R}\)pentru care polinomul este divizibil cu \(X+4\).

(5p) c) Pentru \(m=1\)calculaţi \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}\), unde  \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{x}_{3}}\)sunt rădăcinile polinomului.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{2}^{x}}-x\ln 2\).

(5p) a) Să se calculeze \({f}'\left( x \right),\text{ }x\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Să se calculeze \(\underset{x\to 1}{\mathop \lim }\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}\).

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia \({f}'\left( x \right)=0\)

2. Se consideră şirul \({{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}\sqrt{1-x}}dx,\text{ }n\in \mathbb{N}\).

(5p) a) Să se calculeze \({{I}_{0}}\)şi \({{I}_{1}}\).

(5p) b) Să se arate că \({{I}_{n}}=\frac{2n}{2n+3}{{I}_{n-1}},\text{ }\forall n\ge 1\).

(5p) c) Să se studieze monotonia şirului \({{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}\).

.