Prof: Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1*. Să se arate că \(z=\frac{2+3i}{2-3i}+\frac{2-3i}{2+3i}\) este număr raţional.

(5p) 2. Să se determine \(x\) astfel încât să existe intervalul \(I=\left[ \frac{{{x}^{2}}+1}{2},\frac{3x+4}{4} \right]\).

(5p) 3. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 3ax+2b,\text{ }x<0 \\ \left( a-b \right)x+b,\text{ }x\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\).Să se determine \(a,b\in \mathbb{R}\) ştiind că \(A\left( -1,1 \right)\) şi \(B\left( \frac{1}{3},\frac{1}{2} \right)\)sunt pe graficul funcţiei.

(5p) 4. După o reducere a preţului cu \(18%\) un produs costă 820 lei. Să se calculeze preţul iniţial al produsului.

(5p) 5. Se consideră vectorii \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\) şi \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\). Să se scrie sub o formă mai simplă expresia \(\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}\).

(5p) 6. În triunghiul \(ABC\), \(m\left( \widehat{A} \right)={{90}^{0}}\), \(m\left( \widehat{C} \right)={{30}^{0}}\)şi \(AB=20\sqrt{3}\). Să se calculeze lungimea înălţimii \(AD,\text{ }D\in BC\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În reperul cartezian \(xOy\) se consideră punctele \({{A}_{n}}\left( n,{{n}^{2}}+1 \right),\text{ }n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\).

(5p) a) Determinaţi ecuaţia dreptei \({{A}_{1}}{{A}_{2}}\).

(5p) b) Să se determine \(n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\) astfel încât punctele \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{n}}\)să fie coliniare.

(5p) c) Să se calculeze aria triunghiului \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}}\).

2. Pe mulţimea numerelor reale \(\mathbb{R}\) seconsideră legea de compoziţie \(x\bot y=\frac{1}{2}\left( xy-x-y+3 \right)\)

(5p) a) Să se demonstreze că \(x\bot y=\frac{1}{2}\left( x-1 \right)\left( y-1 \right)+1,\text{   }\forall x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Să se rezolve în \(\mathbb{R}\)ecuaţia \({{5}^{x}}\bot {{3}^{x-3}}=1\).

(5p) c) Să se calculeze \(x\bot x\bot x\bot x\bot x,\text{  }\forall x\in \mathbb{R}\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\left\{ -3 \right\}\ to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+4x+4}{x+3}\).

(5p) a) Să se scrie ecuaţia asimptotei oblice spre \(+\infty \) a graficului funcţiei \(f\).

(5p) b) Să se determine punctele de extrem pentru funcţia \(f\).

(5p) c)* Să se calculeze \(\underset{x\to +\infty }{\mathop \lim }\,{{\left( \frac{f\left( x \right)}{x} \right)}^{x}}\).

2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)=\frac{6}{9+{{x}^{2}}}\).

(5p) a) Să se arate că \(f\left( x \right)\le \frac{1}{x},\text{ }\forall x\in \left( 0,+\infty  \right)\).

(5p) b) Să se calculeze \(\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{f\left( x \right)dx}\).

(5p) c) Să se arate că \(arctg\frac{e}{3}\le \frac{1}{2}+arctg\frac{1}{3}\).