Prof: Brabeceanu Silvia

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Într-o progresie geometrică ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$cu rația pozitivă se cunosc ${{a}_{3}}=18$şi ${{a}_{5}}=162$. Calculaţi suma primilor 6 termeni ai progresiei.

(5p) 2. Determinaţi numărul real $m$pentru care ecuaţia $m{{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0$are soluţii reale egale.

(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\mathop{\log }_{2}\left( x+3 \right)+\mathop{\log }_{2}\left( 2x-1 \right)=2$.

(5p) 4. Se consideră toate numerele naturale de câte trei cifre scrise cu elementele din mulţimea $\left\{ 1,2 \right\}$. Să se calculeze probabilitatea ca, alegând un astfel de număr, acesta să fie divizibil cu 4.

(5p) 5. Să se găsească ecuaţia mediatoarei segmentului determinat de punctele $A\left( 2,-4 \right)$şi $B\left( -1,5 \right)$

(5p) 6. Să se calculeze aria triunghiului $ABC$ştiind că $AB=6,\text{ }BC=7,\text{ }AC=11$.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele ${{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$, $A=\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \\ \end{matrix} \right)$şi $X\left( a \right)={{I}_{2}}+aA$, unde $a\in \mathbb{Z}$.

(5p) a) Calculaţi ${{A}^{2}}-2A$.

(5p) b) Demonstraţi că $X\left( a \right)\cdot X\left( b \right)=X\left( a+b+4ab \right),\text{ }\forall a,b\in \mathbb{Z}$.

(5p) c) Arătaţi că $X\left( a \right)$este matrice inversabilă, $\forall a\in \mathbb{Z}$.

2. Se consideră polinomul $f={{X}^{3}}+\left( m-2 \right){{X}^{2}}-15X+\left( m+1 \right)$.

(5p) a) Pentru $m=3$determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului $f$la $X-2$.

(5p) b) Determinaţi $m\in \mathbb{R}$pentru care polinomul este divizibil cu $X+4$.

(5p) c) Pentru $m=1$calculaţi $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}$, unde  ${{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},\text{ }{{x}_{3}}$sunt rădăcinile polinomului.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\text{ }f\left( x \right)={{2}^{x}}-x\ln 2$.

(5p) a) Să se calculeze ${f}'\left( x \right),\text{ }x\in \mathbb{R}$.

(5p) b) Să se calculeze $\underset{x\to 1}{\mathop \lim }\,\frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}$.

(5p) c) Să se rezolve ecuaţia ${f}'\left( x \right)=0$

2. Se consideră şirul ${{I}_{n}}=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{n}}\sqrt{1-x}}dx,\text{ }n\in \mathbb{N}$.

(5p) a) Să se calculeze ${{I}_{0}}$şi ${{I}_{1}}$.

(5p) b) Să se arate că ${{I}_{n}}=\frac{2n}{2n+3}{{I}_{n-1}},\text{ }\forall n\ge 1$.

(5p) c) Să se studieze monotonia şirului ${{\left( {{I}_{n}} \right)}_{n\ge 0}}$.

.