Varianta 24

Prof:  Dogaru Ion

SUBIECTUL  I  ( 30 de puncte)

5p  1. Calculaţi \({{\left( 1+i \right)}^{2012}}-{{(1-i)}^{2012}}\).

5p  2. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia \(\sqrt{11x+4}=x-2\)

5p  3. Fie \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\)o progresie aritmeticǎ. Știind cǎ  a₆ + a₁₆ = 2012, calculaţi  a₃ + a₁₉ .

5p  4. Sǎ rezolve inecuaţia (x² – 1)(x + 2) \(\ge \) 0.

5p  5. În sistemul cartezian de coordonate xOy se considerǎ punctele A(3,-2), B(-5,6). Sǎ se determine ecuaţia mediatoarei segmentului [AB].

5p  6. În mulţimea [0,2π] , rezolvaţi ecuaţia \({{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x=\cos x\).

SUBIECTUL  II ( 30 de puncte)

1. Pentru \(m\in \)R se considerǎ matricea M = \(\left( \begin{matrix} m & 2 & 1 \\ 2m-1 & 3 & 1 \\ m & m-3 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) şi punctele A(m,2), B(2m-1,3), C(m,m-3).

5p  a) Determinaţi \(m\in \)R pentru care rangM = 2.

5p  b) Determinaţi \(m\in \)R pentru care punctele A,B,C sunt necoliniare.

5p  c) Pentru \(m\in \)[1,5] determinaţi valoarea maximǎ a ariei triunghiului ABC.

2. Pe mulţimea Z se defineşte legea de compoziţie \(x*y=5xy+6x+6y+6\).

5p  a) Arǎtaţi cǎ legea de compoziţie \(*\) este asociativǎ;

5p  b) Determinaţi elementele din Z simetrizabile în raport cu operaţia \(*\) ;

5p  c) Rezolvaţi în Z  ecuaţia \(\underbrace{x*x*...*x}_{de2012ori}=-1\).

SUBIECTUL  III ( 30 de puncte)

1. Se considerǎ funcţia f : R→R, f(x) = (x + 1)e^x .

5p  a) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .

5p  b) Determinaţi intervalele de concavitate şi de convexitate  ale funcţiei f .

5p  c) Determinaţi ecuaţia asimptotei orizontale cǎtre  \(-\infty \) la graficul funcţiei f .

2. Se considerǎ funcţia f : \([1,+\infty )\)→ R, datǎ prin f(x) = 6x + \(\frac{2}{x}\).

5p  a) Determinaţi o primitivǎ F a funcţiei f care are proprietatea F(1) = 2012;

5p  b) Sǎ se calculeze volumul corpului de rotaţie determinat de subgraficul lui f şi dreapta x = 2;

5p  c) Calculaţi asimptota oblicǎ cǎtre \(+\infty \) a graficului funcţiei f.