Prof: Gaga Loghin.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculați suma \(1+5+9+\cdots +61\)

(5p) 2. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) care verifică relația \(f\left( 2x+3 \right)=2{{x}^{2}}-3x+5\). Să se calculeze \(f\left( 4 \right)\)

(5p) 3. Pentru \(x>3\), rezolvați ecuația \({{\log }_{x-2}}2+{{\log }_{x-2}}8=4\).

(5p) 4. Se dă mulțimea \(M=\left\{ 1,2,3,\cdots ,10 \right\}\). Câte submulțimi care îl conțin pe 1 are mulțimea M?

(5p) 5. Se consideră vectorii \({{\bar{v}}_{1}}=\left( m-2 \right)\bar{i}+3\bar{j}\) și \({{\bar{v}}_{2}}=4\bar{i}-\left( m+1 \right)\bar{j}\). Să se determine \(m\in \mathbb{R}\) astfel încât vectorii să fie perpendiculari

(5p) 6. Laturile unui triunghi ABC sunt \(AB=4,\,BC=8,\,AC=6\). Să se determine măsura sinusului unghiului B.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea \(M=\left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\in {{M}_{2}}\left( \mathbb{R} \right)\)

(5p) a) Să se calculeze \({{M}^{n}}\), \(n\in {{N }^{*}}\)

(5p) b)  Să se rezolve ecuația \(7\cdot \det \left( {{M}^{n}} \right)-4\cdot {{3}^{n}}=729\)

(5p) c) Să se calculeze \(S=M+{{M}^{2}}+\cdots +{{M}^{2012}}\)

2. Se consideră polinomul \(f\left( X \right)=2{{X}^{3}}-\left( m+1 \right){{X}^{2}}+2n;\,\,m,n\in \mathbb{R}\), cu rădăcinile \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\)

(5p) a) Să se determine parametri m,n știind că polinomul admite rădăcinile \({{x}_{1}}=-1,\,{{x}_{2}}=2\)

(5p) b) Să se determine \(m\in {{\mathbb{R}}^{+}}\), știind că \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{3}=4\)

(5p) c) Pentru \(m=5,\,n=4\), să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(2\cdot {{625}^{x}}-\left( m+1 \right)\cdot {{25}^{x}}+2n=0\)

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcția \(f:\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=\frac{x{{e}^{x-2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

(5p) a) Să se calculeze \({f}'\left( x \right)\)

(5p) b) Să se calculeze  \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{{f}'\left( x \right)}\)

(5p) c) Să se determine ecuația tangentei la graficul funcției în \({{x}_{0}}=2\).

2. Fie funcția \(f:\left( -2,\infty \right)\to \mathbb{R},\,f\left( x \right)=\ln \left( x+2 \right)-x-2\)

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{-1}^{1}{{{\left( x-f\left( x \right)+\ln \left( x+2 \right) \right)}^{2}}dx}\)

(5p) b) Să se studieze concavitatea funcției f

(5p) c) Să se calculeze aria suprafeței cuprinse între graficul funcției \(g:\left[ 1,e \right]\to \mathbb{R},\,g\left( x \right)=f\left( x \right)+x+2\), axa Ox și dreptele de ecuații \(x=1\) și \(x=e\)