Varianta 31

Prof:Isofache Cătălina Anca

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi suma 1+2\(^{2}+{{2}^{4}}+{{2}^{6}}+{{2}^{8}}+{{2}^{10}}+{{2}^{12}}\).
(5p) 2. Determinaţi punctele de intersecţie dintre reprezentarea grafică a funcţiei f:\(R\to R\), f(x)=x\(^{2}\)+6x-7 şi axele de coordonate.
(5p) 3. Rezolvaţi în mulţimea R ecuaţia lg(x+7)-lg(x-2)=1
(5p) 4. Determinaţi probabilitatea ca alegând un element din mulţimea A={2 ;4 ;6 ;... ;2012}acesta să fie divizibil cu 6,dar să nu fie divizibil cu 4.
(5p) 5. Triunghiul ABC are laturile AB=10 ;AC=24 şi BC=26.Calculaţi cosB
(5p) 6. Calculaţi sin1\(^{0}+\)sin2\(^{0}+\)sin3\(^{0}+\)sin4\(^{0}+\)….+sin360\(^{0}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. In mulţimea \({{M}_{2}}(R)\) se consideră matricele : A=\(\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\) şi \({{O}_{2}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\).
(5p) a) Calculaţi A\(^{2}\) şi detA.
(5p) b) Arătaţi că ,dacă X\(\in \) \({{M}_{2}}(R)\)şi XA=AX,atunci există a,b\(\in \)R,astfel încât X=\(\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & a \\ \end{matrix} \right)\).
(5p) c) Demonstraţi că ecuaţia Y\(^{2}\)=A nu are soluţie în \({{M}_{2}}(R)\).

2. Pe mulţimea numerelor reale se consideră legea de compozitie “\(\circ \)”definită prin: x\(\circ \)y=2xy+2x+2y+1,\(\forall \)x;y\(\in \)R.
(5p) a) Arătaţi că x\(\circ \)y=2(x+1)(y+1)-1, \(\forall \)x;y\(\in \)R.
(5p) b) Demonstraţi că (x\(\circ \)y) \(\circ \)z =x\(\circ \)(y\(\circ \)z), \(\forall \)x;y ;z\(\in \)R.
(5p) c) Verificaţi dacă (-2012) \(\circ \)(-2011) \(\circ \)…\(\circ \)0\(\circ \)1\(\circ \)…\(\circ \)2012<0.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcţia f:\(R\to R\),f(x)=(x\(\int\limits_{0}^{1}{\ f\left( x \right)}\ dx\)-4)( x\(^{2}\)-1).
(5p) a) Calculaţi f’(x), x\(\in R\).
(5p) b) Calculaţi \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}\)
(5p) c) Determinaţi numărul punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei f.

2. Se consideră şirul (I\(_{n}\))\(_{n\in N}\),definit prin I\(_{0}\)=\(\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{4x+3}}dx\) şi I\(_{n}\)=\(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{n}}}{4x+3}}dx\),n\(\in \)N*.
(5p) a) Calculaţi I\(_{0}\) şi I\(_{1}\).
(5p) b) Demonstraţi că 4I\(_{n+1}\)+3I\(_{n}\)=\(\frac{1}{n+1}\),\(\forall \) n\(\in \)N*.
(5p) c) Calculaţi \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\)nI\(_{n}\).