Varianta 33

Prof: IVĂNESCU-GLIGA LILIANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Se dǎ progresia aritmeticǎ \({{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}\)cu a₁ = 1 şi r = 3. Numǎrul 2012 aparţine progresiei?

(5p) 2. Sǎ se rezolve în R ecuaţia \({{3}^{1-\left| x \right|}}=1\).

(5p) 3. Sǎ se rezolve ecuaţia \(C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}=64\), \(n\in \mathbb{N},n\ge 1\).

(5p) 4. Care este probabilitatea sǎ obţinem un element iraţional alegând un element din mulţimea M = \(\left\{ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10} \right\}\)?

(5p) 5. Sǎ se scrie ecuaţia cartezianǎ generalǎ a dreptei ce trece prin punctul A(1, 1) şi are direcţia vectorului director \(\vec{u}\)(–1, 1).

(5p) 6. Fie punctele A(4, 0), B(0, 3) şi O(0, 0). Sǎ se calculeze aria patrulaterului \(O\)A\({O}'\)B, unde \({O}'\)este simetricul lui O faţǎ de AB.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ matricea A =\(\left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)\).

(5p) a) Sǎ se calculeze det (^tA).

(5p) b) Sǎ se gǎseascǎ elementul b₂₂ al matricei B = 2A – ^tA.

(5p) c) Sǎ se calculeze S, suma elementelor de pe diagonala principalǎ a matricei A³.

2. Fie polinomul\(f\)= (X³ + X² – 1)⁵ = \({{a}_{0}}\)+\({{a}_{1}}\)X + ... + \({{a}_{15}}\)X¹⁵,\(f\)\(\in \mathbb{R}\)[X].

(5p) a) Sǎ se determine coeficientul \({{a}_{0}}\).

(5p) b) Sǎ se calculeze \({{a}_{0}}\)+\({{a}_{1}}\)+ ... + \({{a}_{15}}\).

(5p) c) Sǎ se arate cǎ polinomul\(f\)nu e divizibil cu X² – 1.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}\).

(5p) a) Sǎ se determine numǎrul\(f\)(1) +\({f}'\)(1).

(5p) b) Sǎ se determine ecuaţia asimptotei orizontale la graficul funcţiei\(f\).

(5p) c) Sǎ se determine numǎrul punctelor de extrem ale funcţiei\(f\).

2. Fie funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\),\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{e}^{x}},x\in \left( -\infty ,0 \right) \\ & 1-x,x\in \left[ 0,\left. \infty \right) \right. \\ \end{align} \right.\).

(5p) a) Sǎ se arate cǎ funcţia\(f\)admite primitive pe \(\mathbb{R}\).

(5p) b) Sǎ se calculeze\(\int\limits_{-1}^{1}{x\cdot f\left( x \right)}dx\).

(5p) c) Sǎ se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei \(g:\left[ 0;1 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=f\left( x \right),x\in \left[ 0;1 \right]\).