Varianta 33

Prof: IVĂNESCU-GLIGA LILIANA.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Se dǎ progresia aritmeticǎ ${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\ge 1}}$cu a₁ = 1 şi r = 3. Numǎrul 2012 aparţine progresiei?

(5p) 2. Sǎ se rezolve în R ecuaţia ${{3}^{1-\left| x \right|}}=1$.

(5p) 3. Sǎ se rezolve ecuaţia $C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+...+C_{n}^{n}=64$, $n\in \mathbb{N},n\ge 1$.

(5p) 4. Care este probabilitatea sǎ obţinem un element iraţional alegând un element din mulţimea M = $\left\{ \sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\sqrt{7},\sqrt{8},\sqrt{10} \right\}$?

(5p) 5. Sǎ se scrie ecuaţia cartezianǎ generalǎ a dreptei ce trece prin punctul A(1, 1) şi are direcţia vectorului director $\vec{u}$(–1, 1).

(5p) 6. Fie punctele A(4, 0), B(0, 3) şi O(0, 0). Sǎ se calculeze aria patrulaterului $O$A${O}'$B, unde ${O}'$este simetricul lui O faţǎ de AB.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considerǎ matricea A =$\left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)$.

(5p) a) Sǎ se calculeze det (^tA).

(5p) b) Sǎ se gǎseascǎ elementul b₂₂ al matricei B = 2A – ^tA.

(5p) c) Sǎ se calculeze S, suma elementelor de pe diagonala principalǎ a matricei A³.

2. Fie polinomul$f$= (X³ + X² – 1)⁵ = ${{a}_{0}}$+${{a}_{1}}$X + ... + ${{a}_{15}}$X¹⁵,$f$$\in \mathbb{R}$[X].

(5p) a) Sǎ se determine coeficientul ${{a}_{0}}$.

(5p) b) Sǎ se calculeze ${{a}_{0}}$+${{a}_{1}}$+ ... + ${{a}_{15}}$.

(5p) c) Sǎ se arate cǎ polinomul$f$nu e divizibil cu X² – 1.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}$.

(5p) a) Sǎ se determine numǎrul$f$(1) +${f}'$(1).

(5p) b) Sǎ se determine ecuaţia asimptotei orizontale la graficul funcţiei$f$.

(5p) c) Sǎ se determine numǎrul punctelor de extrem ale funcţiei$f$.

2. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$,$f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{e}^{x}},x\in \left( -\infty ,0 \right) \\ & 1-x,x\in \left[ 0,\left. \infty \right) \right. \\ \end{align} \right.$.

(5p) a) Sǎ se arate cǎ funcţia$f$admite primitive pe $\mathbb{R}$.

(5p) b) Sǎ se calculeze$\int\limits_{-1}^{1}{x\cdot f\left( x \right)}dx$.

(5p) c) Sǎ se determine volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei $g:\left[ 0;1 \right]\to \mathbb{R},g\left( x \right)=f\left( x \right),x\in \left[ 0;1 \right]$.