Prof: Lefteriu Ioana 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi:$\sqrt{3}\left( \sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{27} \right)-3\sqrt[3]{64}.$

(5p) 2. Să se determine elementele mulţimii $A=\left\{ x\in \mathbb{Z}/\left| 3x-2 \right|\le 4 \right\}.$

(5p) 3. Se consideră funcţiile:$f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2{{x}^{2}}-3x+1,g(x)=-2x+1.$Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei $g(x)=-f(x).$

(5p) 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale, ecuaţia:$\log _{2}^{x}+\log _{2}^{\left( x-2 \right)}=3.$

(5p) 5. Să se determine $\overrightarrow{a},$unde $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}$,iar$\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+3\overleftarrow{j},\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j.}$

(5p) 6. Să se determine aria unui triunghi ABC,ştiind că$AB=AC=6$,iar$m\left( \measuredangle A \right)={{30}^{0}}.$

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În mulţimea ${{M}_{3}}(\mathbb{Z}),$se consideră matricele: $A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \\ \end{matrix} \right),{{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),{{O}_{3}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right).$

(5p) a) Să se determine numerele întregi a,b,c,x,z,y,u,v,w, astfel încît $A+3{{I}_{3}}={{0}_{3}}.$

(5p) b) Să se calculeze determinantul matricei $B=A-{{A}^{t}}$,unde ${{A}^{t}}$ este transpusa matricei A.

(5p) c) Pentru a = y =w = 0 şi b = c = x = z = u = v =1,să se calculeze${{A}^{2}}.$

2. Se consideră polinomul: $f={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-5x+4,a\in R,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}$, fiind rădăcinile euaţiei f(x)=0

(5p) a) Pentru a = 3,b = -1,să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la g = x-2.

(5p) b) Să se determine a,b$\in R$,astfel încît${{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1$ să fie radacini ale polinomului f.

(5p) c) Pentru a = 3,b= -1,calculaţi:$P=\left( 1-{{x}_{1}} \right)\left( 1-{{x}_{2}} \right)\left( 1-{{x}_{3}} \right)\left( 1-{{x}_{4}} \right)$.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie $f:\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{x+1}$.

(5p) a) Să se calculeze limitele laterale în${{x}_{0}}=-1$şi să se precízeze daca$f$are limită în acest punct

(5p) b) Să se determine asimptota oblică la $+\infty$ a graficului funcţiei $f$.

(5p) c) Să se determine convexitatea funcţiei $f$.

2. Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{e}^{x}}\sqrt{{{x}^{2}}+25}$.

(5p) a) Să se calculeze $\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}}dx$.

(5p) b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei $g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},g(x)=\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}$