Prof: Lefteriu Ioana 

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Calculaţi:\(\sqrt{3}\left( \sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{27} \right)-3\sqrt[3]{64}.\)

(5p) 2. Să se determine elementele mulţimii \(A=\left\{ x\in \mathbb{Z}/\left| 3x-2 \right|\le 4 \right\}.\)

(5p) 3. Se consideră funcţiile:\(f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=2{{x}^{2}}-3x+1,g(x)=-2x+1.\)Să se determine soluţiile reale ale ecuaţiei \(g(x)=-f(x).\)

(5p) 4. Să se rezolve în mulţimea numerelor reale, ecuaţia:\(\log _{2}^{x}+\log _{2}^{\left( x-2 \right)}=3.\)

(5p) 5. Să se determine \(\overrightarrow{a},\)unde \(\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}\),iar\(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}+3\overleftarrow{j},\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j.}\)

(5p) 6. Să se determine aria unui triunghi ABC,ştiind că\(AB=AC=6\),iar\(m\left( \measuredangle A \right)={{30}^{0}}.\)

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1.În mulţimea \({{M}_{3}}(\mathbb{Z}),\)se consideră matricele: \(A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ x & y & z \\ u & v & w \\ \end{matrix} \right),{{I}_{3}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right),{{O}_{3}}=\left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right).\)

(5p) a) Să se determine numerele întregi a,b,c,x,z,y,u,v,w, astfel încît \(A+3{{I}_{3}}={{0}_{3}}.\)

(5p) b) Să se calculeze determinantul matricei \(B=A-{{A}^{t}}\),unde \({{A}^{t}}\) este transpusa matricei A.

(5p) c) Pentru a = y =w = 0 şi b = c = x = z = u = v =1,să se calculeze\({{A}^{2}}.\)

2. Se consideră polinomul: \(f={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}-5x+4,a\in R,{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\), fiind rădăcinile euaţiei f(x)=0

(5p) a) Pentru a = 3,b = -1,să se determine câtul şi restul împărţirii polinomului f la g = x-2.

(5p) b) Să se determine a,b\(\in R\),astfel încît\({{x}_{1}}=-1,{{x}_{2}}=1\) să fie radacini ale polinomului f.

(5p) c) Pentru a = 3,b= -1,calculaţi:\(P=\left( 1-{{x}_{1}} \right)\left( 1-{{x}_{2}} \right)\left( 1-{{x}_{3}} \right)\left( 1-{{x}_{4}} \right)\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie \(f:\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}\to \mathbb{R},f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{x+1}\).

(5p) a) Să se calculeze limitele laterale în\({{x}_{0}}=-1\)şi să se precízeze daca\(f\)are limită în acest punct

(5p) b) Să se determine asimptota oblică la \(+\infty \) a graficului funcţiei \(f\).

(5p) c) Să se determine convexitatea funcţiei \(f\).

2. Se consideră funcţia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)={{e}^{x}}\sqrt{{{x}^{2}}+25}\).

(5p) a) Să se calculeze \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}}dx\).

(5p) b) Să se calculeze volumul corpului obţinut prin rotaţia în jurul axei Ox a graficului funcţiei \(g:\left[ 0,1 \right]\to \mathbb{R},g(x)=\frac{f(x)}{{{e}^{x}}}\)