Varianta 38

Prof: LICA ROXANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Sa se calculeze partea intreaga a numarului \(\frac{1}{\sqrt{5}-2}\).

(5p) 2. Daca intr-o progresie aritmetica \({{a}_{1}}+{{a}_{5}}=8\), sa se calculeze \({{a}_{3}}\).

(5p) 3. Sa se determine solutiile intregi ale inecuatiei \({{x}^{2}}+2x\le 0\)

(5p) 4. Sa se calculeze modulul numarului complex \(z={{\left( 3+4i \right)}^{2}}\)

(5p) 5. Sa se rezolve in multimea numerelor naturale ecuatia \(C_{n}^{2}-3C_{n}^{1}=-3\).

(5p) 6. Sa se determine raza cercului circumscris unui triunghi cu laturile de lungime7, 5 si \(2\sqrt{6}\).

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se considera sistemul \(\left\{ \begin{matrix} 2x-y-z=0 \\ x+y+2z=4 \\ 3x-y-z=1 \\ \end{matrix} \right.\), si matricea \(A=\left( \begin{matrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & m \\ 3 & -1 & -1 \\ \end{matrix} \right)\) cu \(m\in \mathbb{R}\).

(5p) a) Sa se calculeze determinantul matricei A pentru m=2.

(5p) b) Sa se determine valorile lui m pentru care determinantul matricei A este nul.

(5p) c) Sa se rezolve sistemul.

2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de compozitie \(x\circ y=xy+\frac{x}{3}+\frac{y}{3}-\frac{2}{9}\).

(5p) a) Sa se arate ca legea se poate scrie \(x\circ y=\left( x+\frac{1}{3} \right)\left( y+\frac{1}{3} \right)-\frac{1}{3}\), \(\forall \)\(x,y\in \mathbb{R}\).

(5p) b) Sa se determine \(a\in \mathbb{R}\)astfel incat \(a\circ x=a\), pentru \(\forall \)\(x\in \mathbb{R}\).

(5p) c) Sa se calculeze \(\left( -\frac{2012}{3} \right)\circ \left( -\frac{2011}{3} \right)\circ \left( -\frac{2010}{3} \right)\circ ...\circ \left( -\frac{1}{3} \right)\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se considera functia \(f:\left( 0,\infty \right)\to \mathbb{R}\), \(f(x)=x-x\ln x\).

(5p) a) Sa se calculeze \({f}'(1)\).

(5p) b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f  in punctul de abscisa \({{x}_{0}}=e\).

(5p) c) Determina punctele de extrem local ale functiei  f  .

2. Se considera \({{I}_{n}}=\int_{0}^{1}{{{x}^{n}}\cos xdx}\), \(n\in \mathbb{N}\).

(5p) a) Sa se calculeze \({{I}_{0}}\).

(5p) b) Sa se calculeze \({{I}_{1}}\).

(5p) c) Sa se demonstreze ca \({{I}_{2012}}\le \frac{1}{2013}\).