Prof: Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1.Aflaţi numărul de elemente al mulţimii : A={ x\(\in \)Z \(\left| \left| 5x-1 \right|<4 \right.\)} .

(5p) 2.Să se afle al 2012-lea termen al progresiei aritmetice : -5,-2,1,...

(5p) 3.Aflaţi soluţiile reale ale ecuaţiei :\({{\log }_{4}}(5x-1)={{\log }_{4}}(3x+3)\) .

(5p) 4. Calculaţi : \(C_{2012}^{3}-C_{2011}^{3}-C_{2011}^{2}\).

(5p) 5. Să se afle valoarea numărului real a , pentru care punctul A(3,5)  , se află pe dreapta de ecuaţie   d: 3x-2y+a=0 .

(5p) 6. Să se calculeze : \({{\sin }^{2}}{{5}^{\circ }}+{{\sin }^{2}}{{85}^{\circ }}\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele : A=\(\left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right)\) si \({{I}_{2}}=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\) .

(5p) a) Să se verifice că : \({{A}^{2}}=A\) .

(5p) b) Aflaţi valorile numărului real x, astfel încât : \(\det (A+x{{I}_{2}})=0\) .

(5p) c) Să se calculeze suma : \(A+{{A}^{2}}+...+{{A}^{2012}}\).

2. Pe mulţimea numerelor reale , se consideră legea de compoziţie :

     \(x\circ y=xy-4x-4y+20\) , \((\forall )x,y\in R\) .

(5p) a) Să se arate că: \(x\circ y=(x-4)(y-4)\)+4 , \((\forall )x,y\in R\) .

(5p) b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale , ecuaţia : \(\underbrace{x\circ x\circ ...\circ x}_{2012-ori}\)=5 .

(5p) c) Ştiind că legea  “\(\circ \)” este asociativă , să se calculeze valoarea expresiei : 

 E=\((-2012)\circ (-2011)\circ ...\circ 0\circ ...\circ 2011\circ 2012\) .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia : \(f:R\to R\) , \(f(x)={{x}^{2012}}-2012x+1\) .

(5p) a) Calculaţi: \(\underbrace{\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\) .

(5p) b) Aflaţi soluţiile reale ale ecuaţiei: \({{f}^{'}}(x)=0\) .

(5p) c) Demonstraţi că : \({{x}^{2012}}-2012x+2011\ge 0\) , \((\forall )x\in R\) .

2. Se consideră funcţia: \(f:R\to R\) , \(f(x)=\frac{{{x}^{2}}+5x+1}{{{x}^{2}}+1}\) .

(5p) a) Să se calculeze : \(\int{({{x}^{2}}+1)\centerdot f(x)dx}\) .

(5p) b) Să se arate că: \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx=1+\frac{5}{2}}\ln 2\) .

(5p) c) Să se calculeze : \(\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{f(x)}}\centerdot {{f}^{'}}(x)dx}\) .