Varianta 45

Prof: Marcu Ştefan Florin

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se calculeze suma : 2+12+22+...+222.

(5p) 2. Aflaţi valorile reale ale lui x,   ştiind că : \(\sqrt{{{x}^{2}}-9}=4\) .

(5p) 3. Se consideră funcţia: \(f:R\to R\) , \(f(x)=2{{x}^{2}}-3x+5\) . Să se afle \(m\in R\) , pentru care punctul A(m,5) aparţine graficului funcţiei f .

(5p) 4. Să se determine , câte numere de trei cifre distincte , se pot forma cu cifrele {1,3,5,7} .

(5p) 5. Să se afle lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic , ştiind că acestea sunt numere naturale    consecutive

(5p) 6. Calculaţi: \(\sin {{25}^{\circ }}+\cos {{25}^{\circ }}-\sin {{155}^{\circ }}+\cos {{155}^{\circ }}\) .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră sistemul de ecuaţii : \(\left\{ \begin{matrix} x+2y+3z=14 \\ 2x-y+z=3 \\ x-3y+mz=4 \\ \end{matrix} \right.\), unde m este un parametru real .

(5p) a) Să se afle valorile reale ale lui m , pentru care tripletul (1,2,3) este soluţie a sistemului de ecuaţii .

(5p) b) Aflaţi valorile reale ale lui m , pentru care sistemul admite o soluţie unică .

(5p) c) Pentru m=-2 , arătaţi că sistemul de ecuaţii, nu are soluţii reale .

2. Se consideră polinomul : \(f={{X}^{3}}+a{{X}^{2}}+1\in R[X]\) , unde \(a\in Z\).

(5p) a) Să se afle valoarea lui a , pentru care polinomul f este divizibil cu X-1 .

(5p) b) Pentru a=-2 , aflaţi rădăcinile reale ale lui f .

(5p) c) Dacă notăm cu \({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\) rădăcinile polinomului f , arătaţi că \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\) este un număr natural pătrat perfect , \((\forall )a\in Z\).

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia: \(f:(0,+\infty )\to R,f(x)=x+\ln x\) .

(5p) a) Aflaţi asimptotele graficului funcţiei f .

(5p) b) Demonstraţi că  f este strict crescătoare pe \((0,+\infty )\) .

(5p) c) Dacă 0<a<b , arătaţi că: \(a<\frac{b-a}{\ln b-\ln a}<b\) .

2. Se consideră funcţiile \(f,F:R\to R\) , unde \(f(x)={{e}^{x}}+6{{x}^{2}}+1\) şi\(F(x)={{e}^{x}}+2{{x}^{3}}+x+2012\)

(5p) a) Arătaţi că F este o primitivă a lui f  .

(5p) b) Calculaţi: \(\int\limits_{0}^{1}{x\centerdot f(x)dx}\) .

(5p) c) Arătaţi că: \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)\centerdot F(x)dx=\frac{(e+2)(e+4028)}{2}}\) .