Varianta 45
Prof: Marcu Ştefan Florin
SUBIECTUL I (30 de puncte)
(5p) 1. Să se calculeze suma : 2+12+22+...+222.
(5p) 2. Aflaţi valorile reale ale lui x, ştiind că : √x2−9=4 .
(5p) 3. Se consideră funcţia: f:R→R , f(x)=2x2−3x+5 . Să se afle m∈R , pentru care punctul A(m,5) aparţine graficului funcţiei f .
(5p) 4. Să se determine , câte numere de trei cifre distincte , se pot forma cu cifrele {1,3,5,7} .
(5p) 5. Să se afle lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic , ştiind că acestea sunt numere naturale consecutive
(5p) 6. Calculaţi: sin25∘+cos25∘−sin155∘+cos155∘ .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
- Se consideră sistemul de ecuaţii : {x+2y+3z=142x−y+z=3x−3y+mz=4, unde m este un parametru real .
(5p) a) Să se afle valorile reale ale lui m , pentru care tripletul (1,2,3) este soluţie a sistemului de ecuaţii .
(5p) b) Aflaţi valorile reale ale lui m , pentru care sistemul admite o soluţie unică .
(5p) c) Pentru m=-2 , arătaţi că sistemul de ecuaţii, nu are soluţii reale .
- Se consideră polinomul : f=X3+aX2+1∈R[X] , unde a∈Z.
(5p) a) Să se afle valoarea lui a , pentru care polinomul f este divizibil cu X-1 .
(5p) b) Pentru a=-2 , aflaţi rădăcinile reale ale lui f .
(5p) c) Dacă notăm cu x1,x2,x3 rădăcinile polinomului f , arătaţi că x21+x22+x23 este un număr natural pătrat perfect , (∀)a∈Z.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
- Se consideră funcţia: f:(0,+∞)→R,f(x)=x+lnx .
(5p) a) Aflaţi asimptotele graficului funcţiei f .
(5p) b) Demonstraţi că f este strict crescătoare pe (0,+∞) .
(5p) c) Dacă 0<a<b , arătaţi că: a<b−alnb−lna<b .
- Se consideră funcţiile f,F:R→R , unde f(x)=ex+6x2+1 şiF(x)=ex+2x3+x+2012
(5p) a) Arătaţi că F este o primitivă a lui f .
(5p) b) Calculaţi: 1∫0x⋅f(x)dx .
(5p) c) Arătaţi că: 1∫0f(x)⋅F(x)dx=(e+2)(e+4028)2 .