Varianta 64

Prof: RICU ILEANA

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Să se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice${{\left( {{a}_{n}} \right)}_{n\in {{\mathbb{N}}^{*}}}}$, dacă a1=2, a5=14.

(5p) 2. Fie ecuatia x² – (m-1)x+m-1=0, $m\in \mathbb{R}$. Să se determine m astfel încât $\sqrt[{}]{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}+\sqrt{9-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=3$

(5p) 3. Să se rezolve ecuaţia:$\frac{{{\log }_{2}}\left( 2x-5 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-8 \right)}=\frac{1}{2}$

(5p) 4. Să se calculeze partea reală a numărului complex ${{\left( 1+i \right)}^{4}}$.

(5p) 5. Să se calculeze $C_{12}^{3}-C_{12}^{9}$

(5p) 6. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Să se scrie ecuaţia înălţimii din A a triunghiului ABC .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Fie M = $\left\{ \left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{a}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{b}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{2}}\,\cdot \overset{\wedge }{\mathop{b}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{a}}\, \\ \end{matrix} \right)/\overset{\wedge }{\mathop{a}}\,,\overset{\wedge }{\mathop{b}}\,\in {{Z}_{5}} \right\}$ şi I$_{2}$ = $\left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{1}}\, \\ \end{matrix} \right)$, O$_{2}$ = $\left( \begin{matrix} \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, \\ \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, & \overset{\wedge }{\mathop{0}}\, \\ \end{matrix} \right)$.

(5p) a) Arătaţi că matricile I$_{2}$ , O$_{2}$ $\in$ M.

(5p) b) Dacă A, B $\in$ M, arătaţi că A + B $\in$ M, A·B $\in$ M.

(5p) c) Determinaţi numărul de elemente din mulţimea: U(M) = {A $\in$ M | există A$^{-1}\in$M  }.

2. Se consideră polinomul $f={{X}^{4}}+X+1$cu rădăcinile ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}\in \mathbb{C}$.

(5p) a) Arătaţi că $f={{\left( {{X}^{2}}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( X+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}$

(5p) b) Calculaţi $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}$

(5p) c) Stabiliţi numărul de rădăcini reale ale polinomului f.

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie funcţia $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1$

(5p) a)  Să se determine valorile extreme ale funcţiei f.

(5p) b) Să se arate că $f\left( x \right)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$

(5p) c) Să se demonstreze că $\frac{1}{e}\le \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{-{{x}^{2}}}}dx\le \frac{\pi }{4}}$

2. Fie funcţiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f\left( x \right)={{x}^{2}}-ax$ şi $g\left( x \right)=3ax-{{x}^{2}},a\in \left( 0,+\infty \right)$,

(5p) a)Să se studieze poziţia parabolelor corespunzătoare funcţiilor f şi g.

(5p) b) Să se calculeze aria suprafeţei plane S cuprinsă între cele două parabole.

(5p) c) Dacă P este punctul de intersecţie a celor două parabole,diferit de origine,să se arate că dreapta OP împarte suprafaţa S în două suprafeţe echivalente.